Verifique se a função f(x) é contínua em x = 1 e se é derivável em x = 1.
f(x) = { (3 - x) / 1^2, se x < 1; 1 / raiz(x), se x ≥ 1 }

Passo 1

Vamos analisar o exercício que envolve verificar se a função é contínua e derivável em . Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções. Precisaremos entender como calcular limites laterais e derivadas para determinar essas propriedades em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos que:

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Para , . Então,

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Para , . Então,

Passo 5

Verificamos o valor da função em :

Passo 6

Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em .

Passo 7

Como a função não é contínua em , ela também não pode ser derivável nesse ponto. A derivabilidade exige continuidade, então não precisamos calcular a derivada.

Resposta

A função não é contínua em e, consequentemente, não é derivável nesse ponto.

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