Sejam f e g funções reais deriváveis. Calcule a derivada em relação a x e y das funções abaixo:
h(x, y)=f(x)+g(y)

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular as derivadas parciais da função $ h(x, y) = f(x) + g(y) $ em relação a $ x $ e $ y $. Vamos usar os conceitos de derivadas parciais e entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ h(x, y) $ em relação a $ x $. Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. A função $ h(x, y) $ é a soma de $ f(x) $ e $ g(y) $, mas como $ g(y) $ não depende de $ x $, sua derivada em relação a $ x $ é zero.

Passo 3

Então, a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $ é simplesmente a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $:
h

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ h(x, y) $ em relação a $ y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante. Assim, a derivada de $ g(y) $ em relação a $ y $ é $ g’(y) $, e a derivada de $ f(x) $ em relação a $ y $ é zero, já que $ f(x) $ não depende de $ y $.

Passo 5

Portanto, a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $ é:
h

Resposta

As derivadas parciais da função $ h(x, y) = f(x) + g(y) $ são:
h(x, y) = f(x) + g(y)

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