Sejam
e
funções reais deriváveis. Calcule a derivada em relação a
e
das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais da função $ h(x, y) = f(x + y) $ em relação a $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos: $ h(x, y) = f(x + y) $. Aqui, $ h $ depende de $ x $ e $ y $ através da soma $ x + y $, que é o que chamamos de função composta.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial x} $.
Para isso, aplicamos a regra da cadeia. Pense assim: a derivada de $ f $ em relação a $ x $ é a derivada de $ f $ em relação a $ u $ (onde $ u = x + y $) multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Então:
A derivada de $ x + y $ em relação a $ x $ é 1, porque $ y $ é tratado como uma constante em relação a $ x $.
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial y} $.
Usamos a mesma regra da cadeia:
A derivada de $ x + y $ em relação a $ y $ também é 1, já que $ x $ é tratado como uma constante em relação a $ y $.
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função $ h(x, y) = f(x + y) $ são: