Sejam f e g funções definidas por f(x)=x^{2}-3 x e g(x)=2 x+1, determine:
g(f(x))

Passo 1

O enunciado fornece duas funções e pede a composição g(f(x)). Informações dadas:
  • f(x)=x^{2}-3x.
  • g(x)=2x+1.
  • Pedido: determinar g(f(x)).

Passo 2

O que significa g(f(x))? Explicando devagar: a composição g\circ f é a função que aplica primeiro f em x e depois aplica g ao resultado. Em notação:
g(f(x)) = g\bigl(\,f(x)\,\bigr).
Isso quer dizer: pegue a expressão que define f(x) e substitua-a no lugar do argumento x em g. Não há mistério — é só “colar” f(x) dentro de g.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as duas funções para referência:
f(x)=x^{2}-3x,\qquad g(x)=2x+1.
Agora, substituir f(x) no lugar de x em g. Pela definição de g,
g(t)=2t+1
para qualquer argumento t. Aqui escolhemos t=f(x), então
g(f(x))=2\bigl(f(x)\bigr)+1.

Passo 4

Substituir a expressão de f(x) dentro da fórmula:
g(f(x))=2\bigl(x^{2}-3x\bigr)+1.
Agora vamos desenvolver essa expressão passo a passo. Primeiro multiplicar o 2 pelos termos dentro dos parênteses:
2\bigl(x^{2}-3x\bigr)=2x^{2}-6x.

Passo 5

Somar o +1 que estava fora dos parênteses:
g(f(x))=2x^{2}-6x+1.
Verificação rápida (exemplo numérico) para ganhar confiança: se x=2, então f(2)=2^{2}-3\cdot2=4-6=-2 e g(f(2))=g(-2)=2\cdot(-2)+1=-4+1=-3. Pela fórmula final, 2x^{2}-6x+1 com x=2 2\cdot4-12+1=8-12+1=-3. Confere!

Passo 6

Observação sobre domínio: f e g são polinômios, portanto definidos para todo x\in\mathbb{R}. Logo a composição g(f(x)) também está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

g(f(x))=2x^{2}-6x+1

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