Determinar as retas tangente e normal à circunferencia de centro em (3,5) e raio 2, nos pontos de abscissa 4. (Resolver usando derivação implicita)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as retas tangente e normal a uma circunferência que tem centro em (3,5) e raio 2, especificamente nos pontos onde a abscissa (o valor de x) é 4. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica de cálculo para encontrar a inclinação das retas tangentes em curvas definidas implicitamente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos na circunferência onde x = 4. A equação geral da circunferência é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, h = 3, k = 5 e r = 2. Substituindo, temos:
(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4
Agora, substituímos x = 4 na equação para encontrar os valores de y:
(4 - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4 1 + (y - 5)^2 = 4 (y - 5)^2 = 3 y - 5 = pm raiz3 y = 5 pm raiz3
Portanto, os pontos são (4, 5 + raiz3) e (4, 5 - raiz3).

Passo 3

Agora, vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação das retas tangentes nesses pontos. Diferenciando a equação da circunferência em relação a x:
2(x - 3) + 2(y - 5)dydx = 0
Resolvendo para dydx:
2(y - 5)dydx = -2(x - 3) dydx = -(x - 3)(y - 5)

Passo 4

Vamos calcular a inclinação ( mt) da reta tangente nos pontos (4, 5 + raiz3) e (4, 5 - raiz3).
Para (4, 5 + raiz3):
mt = -(4 - 3)(5 + raiz3 - 5) = -1raiz3 = -raiz33
Para (4, 5 - raiz3):
mt = -(4 - 3)(5 - raiz3 - 5) = -1-raiz3 = raiz33

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e os pontos, podemos montar a equação das retas tangentes usando a fórmula da equação da reta:
y - y0 = mt (x - x0)
Para o ponto (4, 5 + raiz3):
y - (5 + raiz3) = -raiz33(x - 4)
Simplificando:
y = -raiz33x + 4raiz33 + 5 + raiz3 = -raiz33x + 5 + 7raiz33
Para o ponto (4, 5 - raiz3):
y - (5 - raiz3) = raiz33(x - 4)
Simplificando:
y = raiz33x - 4raiz33 + 5 - raiz3 = raiz33x + 5 - 7raiz33

Passo 6

Agora, vamos achar as retas normais. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então a inclinação da normal ( mn) é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
mn = -1mt
Para (4, 5 + raiz3):
mn = -1-raiz33 = 3raiz3 = raiz3
Para (4, 5 - raiz3):
mn = -1raiz33 = -3raiz3 = -raiz3

Passo 7

Vamos escrever as equações das retas normais usando os pontos e as inclinações encontradas.
Para (4, 5 + raiz3):
y - (5 + raiz3) = raiz3(x - 4)
Simplificando:
y = raiz3x - 4raiz3 + 5 + raiz3 = raiz3x + 5 - 3raiz3
Para (4, 5 - raiz3):
y - (5 - raiz3) = -raiz3(x - 4)
Simplificando:
y = -raiz3x + 4raiz3 + 5 - raiz3 = -raiz3x + 5 + 3raiz3

Resposta

As retas tangente e normal à circunferência no pontos de abscissa 4 são:
  • Tangentes:
    y = -raiz33x + 5 + 7raiz33
    e
    y = raiz33x + 5 - 7raiz33
  • Normais:
    y = raiz3x + 5 - 3raiz3
    e
    y = -raiz3x + 5 + 3raiz3

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