Determinar as retas tangente e normal à circunferencia de centro em
e raio 2, nos pontos de abscissa 4. (Resolver usando derivação implicita)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as retas tangente e normal a uma circunferência que tem centro em
e raio
, especificamente nos pontos onde a abscissa (o valor de
) é
. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica de cálculo para encontrar a inclinação das retas tangentes em curvas definidas implicitamente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos na circunferência onde
. A equação geral da circunferência é:
Aqui,
,
e
. Substituindo, temos:
Agora, substituímos
na equação para encontrar os valores de
:
Portanto, os pontos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação das retas tangentes nesses pontos. Diferenciando a equação da circunferência em relação a
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Vamos calcular a inclinação (
) da reta tangente nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e os pontos, podemos montar a equação das retas tangentes usando a fórmula da equação da reta:
Para o ponto
:
Simplificando:
Para o ponto
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos achar as retas normais. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então a inclinação da normal (
) é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos escrever as equações das retas normais usando os pontos e as inclinações encontradas.
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Resposta
As retas tangente e normal à circunferência no pontos de abscissa 4 são:
-
Tangentes:e
-
Normais:e