Determine a equação da reta perpendicular à reta
e tangente ao gráfico de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação de uma reta que seja perpendicular à reta dada
e que seja tangente ao gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de retas perpendiculares, derivadas para encontrar tangentes e resolver equações. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o coeficiente angular (m) da reta dada
. Para isso, vamos deixar a equação na forma explícita
.
Então, o coeficiente angular da reta dada é
.
Passo 3
Agora, queremos uma reta perpendicular a essa. Sabemos que o coeficiente angular de duas retas perpendiculares é o negativo do inverso um do outro. Ou seja, se uma reta tem inclinação
, a perpendicular terá inclinação
.
Então,
Portanto, a reta que estamos procurando tem coeficiente angular
.
Passo 4
Vamos agora expressar a equação geral da reta que procuramos. Sabemos que ela tem inclinação 9, então podemos escrever:
Onde
é o coeficiente linear que precisamos determinar.
Passo 5
Essa reta precisa ser tangente ao gráfico de
. Para que isso aconteça, deve existir exatamente um ponto de tangência entre as duas funções. Vamos encontrar esse ponto.
Primeiro, sabemos que a tangente a
em um ponto
tem inclinação dada pela derivada de
em
. Vamos calcular a derivada:
Igualando a inclinação da reta à derivada:
Então, temos dois possíveis valores para
: 2 e -2.
Passo 6
Vamos encontrar os pontos de tangência correspondentes a
e
.
Para
:
Então, o ponto de tangência é
.
Para
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 7
Agora, sabemos que a reta
passa por esses pontos de tangência. Vamos usar um deles para encontrar
.
Usando o ponto
:
Usando o ponto
:
Passo 8
Então, temos duas possíveis equações para as retas perpendiculares que são tangentes ao gráfico de
:
- Para o ponto
:
- Para o ponto
:
Resposta
As equações das retas perpendiculares a
e tangentes ao gráfico de
são:
e