Determine a equação da reta perpendicular à reta 9 y+x=3 e tangente ao gráfico de g(t)=t^3-3 t

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação de uma reta que seja perpendicular à reta dada 9y + x = 3 e que seja tangente ao gráfico da função g(t) = t^3 - 3t. Para isso, vamos usar conceitos de retas perpendiculares, derivadas para encontrar tangentes e resolver equações. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o coeficiente angular (m) da reta dada 9y + x = 3. Para isso, vamos deixar a equação na forma explícita y = mx + b.
9y + x = 3
9y = -x + 3
y = -19x + 13
Então, o coeficiente angular da reta dada é m = -19.

Passo 3

Agora, queremos uma reta perpendicular a essa. Sabemos que o coeficiente angular de duas retas perpendiculares é o negativo do inverso um do outro. Ou seja, se uma reta tem inclinação m, a perpendicular terá inclinação mperp = -1m.
Então,
mperp = -1-19 = 9
Portanto, a reta que estamos procurando tem coeficiente angular m = 9.

Passo 4

Vamos agora expressar a equação geral da reta que procuramos. Sabemos que ela tem inclinação 9, então podemos escrever:
y = 9x + b
Onde b é o coeficiente linear que precisamos determinar.

Passo 5

Essa reta precisa ser tangente ao gráfico de g(t) = t^3 - 3t. Para que isso aconteça, deve existir exatamente um ponto de tangência entre as duas funções. Vamos encontrar esse ponto.
Primeiro, sabemos que a tangente a g(t) em um ponto t = a tem inclinação dada pela derivada de g(t) em t = a. Vamos calcular a derivada:
g'(t) = ddt(t^3 - 3t) = 3t^2 - 3
Igualando a inclinação da reta à derivada:
9 = 3a^2 - 3
3a^2 = 12
a^2 = 4
a = pm 2
Então, temos dois possíveis valores para a: 2 e -2.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos de tangência correspondentes a a = 2 e a = -2.
Para a = 2:
g(2) = 2^3 - 3 times 2 = 8 - 6 = 2
Então, o ponto de tangência é (2, 2).
Para a = -2:
g(-2) = (-2)^3 - 3 times (-2) = -8 + 6 = -2
Então, o ponto de tangência é (-2, -2).

Passo 7

Agora, sabemos que a reta y = 9x + b passa por esses pontos de tangência. Vamos usar um deles para encontrar b.
Usando o ponto (2, 2):
2 = 9 times 2 + b
2 = 18 + b
b = 2 - 18
b = -16
Usando o ponto (-2, -2):
-2 = 9 times (-2) + b
-2 = -18 + b
b = -2 + 18
b = 16

Passo 8

Então, temos duas possíveis equações para as retas perpendiculares que são tangentes ao gráfico de g(t):
  1. Para o ponto (2, 2):
y = 9x - 16
  1. Para o ponto (-2, -2):
y = 9x + 16

Resposta

As equações das retas perpendiculares a 9y + x = 3 e tangentes ao gráfico de g(t) = t^3 - 3t são:
y = 9x - 16
e
y = 9x + 16

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