Esboce o gráfico da função abaixo:
f(x)=|-cos (|x|)-3|

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=|−cos(|x|)−3|. O conteúdo envolve propriedades de valor absoluto, funções trigonométricas e periodicidade; para resolver, vamos usar definição de valor absoluto, simplificar a expressão e explorar o comportamento de cos(|x|).

Passo 2

Precisamos simplificar f(x) aplicando a propriedade |−A|=|A|:
Após simplificar temos
f(x)=|−(cos(|x|)+3)|=|cos(|x|)+3|
Em seguida, observamos que cos(|x|) varia em [−1,1], logo cos(|x|)+3 varia em [2,4], sempre positivo. Portanto o valor absoluto é dispensável e
$$
f(x)=\cos(|x|)+3.$$
Agora reconhecemos que f(x)=cos(|x|)+3 é uma função par (simétrica em relação ao eixo y) e periódica de período 2π. Logo cos(|x|) também é par e de período 2π. A amplitude é 1 e a base está deslocada para cima em 3 unidades.

Passo 3

Para esboçar, marcamos pontos-chave e traçamos a forma de cosseno entre 0 e 2π, depois refletimos para x<0 por simetria:
  • Em x=0: f(0)=3+1=4.
  • Em x=π: f(π)=3−1=2.
  • Em x=2π: f(2π)=3+1=4.
    Entre 0 e π a curva decresce como um cosseno, e entre π e 2π ela cresce de volta. Depois repetimos a cada 2π e refletimos para x<0.

Passo 4

O gráfico resultante é uma “ondinha” de cosseno com amplitudes entre 2 e 4, período 2π e simétrica ao eixo y.

Resposta

O gráfico é dado por f(x)=3+cos(|x|), com amplitude 1, deslocamento vertical +3, período 2π e simetria par. Entre cada múltiplo de 2π oscila de 4 (no pico) a 2 (no vale).

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