Prove diretamente da definição que:
lim x 1(x^3+5)=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando a definição de limite, que quando $ x $ se aproxima de 1, a expressão $ x^{3} + 5 $ chega a 6. Isso está relacionado ao cálculo de limites, mais especificamente usando a definição formal de limite ($ \epsilon x \delta $).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite: Dizemos que $ \lim_{x \to a} f(x) = L $ se, para todo $ \epsilon > 0 $, existe um $ \delta > 0 $ tal que sempre que $ 0 < |x - a| < \delta $, então $ |f(x) - L| < \epsilon $.
No nosso caso, $ a = 1 $, $ f(x) = x^{3} + 5 $ e $ L = 6 $.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar um $ \delta $ em termos de $ \epsilon $ tal que, se $ |x - 1| < \delta $, então $ |x^{3} + 5 - 6| < \epsilon $.
Vamos simplificar a expressão:
de

Passo 4

Para controlar $ |x^{2} + x + 1| $, vamos fazer uma estimativa. Se $ |x - 1| < 1 $, então $ x $ está entre 0 e 2. Assim:
|x^2 + x + 1|
Portanto,
|x - 1| < 1

Passo 5

Queremos que $ 7|x - 1| < \epsilon $. Para isso, basta escolher:
7|x - 1| < epsilon
Então, podemos definir $ \delta = \min\left{1, \frac{\epsilon}{7}\right} $.

Resposta

Assim, para todo $ \epsilon > 0 $, existe $ \delta = \min\left{1, \frac{\epsilon}{7}\right} $ que garante que $ |x^{3} + 5 - 6| < \epsilon $ sempre que $ |x - 1| < \delta $. Portanto, $ \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{3}+5\right)=6 $ está provado pela definição.

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