Considere
, calcule o
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o limite de uma função definida por partes quando $ x $ se aproxima de 0. A função é dada por:
Queremos encontrar:
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limite, funções definidas por partes e como lidar com números racionais e irracionais próximos de um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função quando $ x $ se aproxima de um valor específico, no caso, 0. O limite
é o valor que $ h(x) $ se aproxima quando $ x $ fica cada vez mais próximo de 0, sem necessariamente atingir o ponto.
Aqui, nossa função é $ h(x) = x^{2} \cdot f(x) $. Vamos analisar como $ h(x) $ se comporta quando $ x $ se aproxima de 0.
Passo 3
A função $ f(x) $ é definida de forma diferente para números racionais ($ \mathbb{Q}
\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $). Especificamente:
- Se $ x $ é racional, $ f(x) = 2 $.
- Se $ x $ é irracional, $ f(x) = -2 $.
Portanto, $ h(x) = x^{2} \cdot f(x) $ fica assim:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de $ h(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0. Observe que $ x^{2} $ é sempre positivo ou zero, independentemente de $ x $ ser positivo ou negativo. Além disso, $ x^{2} $ tende a 0 conforme $ x $ se aproxima de 0.
Então, tanto para $ x $ racional quanto para $ x $ irracional:
Isso significa que, independentemente de $ f(x) $ ser 2 ou -2, o produto $ x^{2} \cdot f(x) $ sempre tende a 0 quando $ x $ se aproxima de 0.
Passo 5
Como vimos, tanto para valores racionais quanto irracionais de $ x $, o limite de $ h(x) = x^{2} \cdot f(x) $ é 0 quando $ x $ se aproxima de 0. Isso ocorre porque o fator $ x^{2} $ domina o comportamento da função, anulando o efeito de multiplicação por 2 ou -2.