Sejam f, g: I \rightarrow \mathbb{R} funções contínuas num intervalo I, a, b \in I e \lambda \in \mathbb{R}. Prove que:
se a<b então \left|\int_{a}^{b} f\right| \leq \int_{a}^{b}|f|.
Para toda função real h contínua em [a,b], a integral \int_{a}^{b} h existe (Riemann) e vale a “área algébrica” sob h.
Linearidade da integral: para constantes \alpha,\beta e funções contínuas h,k,
\int_{a}^{b} (\alpha h+\beta k)=\alpha\int_{a}^{b} h+\beta\int_{a}^{b} k.
Monotonicidade da integral: se h(x)\le k(x) para todo x\in[a,b], então
\int_{a}^{b} h \le \int_{a}^{b} k.
Vou usar essas propriedades (elas são básicas e verdadeiras para integrais de funções contínuas).
Passo 3
Observe a desigualdade ponto a ponto envolvendo o valor absoluto:
-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Isto é apenas a definição/propriedade do valor absoluto: |f(x)| é sempre não negativo e é a distância de f(x) até 0, logo f(x) fica entre -|f(x)| e |f(x)|.
Passo 4
Integramos a desigualdade ponto a ponto em x de a a b. Pela monotonicidade da integral, obtemos