Sejam f, g: I \rightarrow \mathbb{R} funções contínuas num intervalo I, a, b \in I e \lambda \in \mathbb{R}. Prove que:
se a<b então \left|\int_{a}^{b} f\right| \leq \int_{a}^{b}|f|.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f: I\to\mathbb{R} é contínua em um intervalo I.
  • a,b\in I e a<b.
  • Pede-se provar a desigualdade
\left|\int_{a}^{b} f\right| \leq \int_{a}^{b} |f|.

Passo 2

Lembrete útil (propriedades que podemos usar):
  • Para toda função real h contínua em [a,b], a integral \int_{a}^{b} h existe (Riemann) e vale a “área algébrica” sob h.
  • Linearidade da integral: para constantes \alpha,\beta e funções contínuas h,k,
\int_{a}^{b} (\alpha h+\beta k)=\alpha\int_{a}^{b} h+\beta\int_{a}^{b} k.
  • Monotonicidade da integral: se h(x)\le k(x) para todo x\in[a,b], então
\int_{a}^{b} h \le \int_{a}^{b} k.
Vou usar essas propriedades (elas são básicas e verdadeiras para integrais de funções contínuas).

Passo 3

Observe a desigualdade ponto a ponto envolvendo o valor absoluto:
-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Isto é apenas a definição/propriedade do valor absoluto: |f(x)| é sempre não negativo e é a distância de f(x) até 0, logo f(x) fica entre -|f(x)| e |f(x)|.

Passo 4

Integramos a desigualdade ponto a ponto em x de a a b. Pela monotonicidade da integral, obtemos
\int_{a}^{b} -|f(x)|\,dx \le \int_{a}^{b} f(x)\,dx \le \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx.
Aqui usei o fato de que integrar mantém a ordem quando as funções são ordenadas ponto a ponto.

Passo 5

Usando a linearidade da integral, \int_{a}^{b} -|f| = -\int_{a}^{b} |f|. Portanto a desigualdade do Passo 4 equivale a
- \int_{a}^{b} |f| \le \int_{a}^{b} f \le \int_{a}^{b} |f|.

Passo 6

Agora um fato simples sobre números reais: se um número y satisfaz -M\le y\le M com M\ge 0, então |y|\le M. Aplicando isso com
y=\int_{a}^{b} f\quad\text{e}\quad M=\int_{a}^{b} |f|,
obtemos
\left|\int_{a}^{b} f\right| \le \int_{a}^{b} |f|.
Isto conclui a prova da desigualdade pedida.

Resposta

\left|\int_{a}^{b} f\right| \leq \int_{a}^{b}|f|

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