Sejam
contínuas em
. Dados
mostre que existe
tal que
Sugestão: Aplique o Teorema do Valor Médio de Cauchy nas primitivas de
e
em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente isto:
- Dados:
contínuas em e . - Objetivo: mostrar que existe
tal que
Anotações úteis sobre notação (só para ficar claro): quando escrevo
estou usando a forma usual de primitiva definida a partir de
.
Passo 2
Construir primitivas de
e
: defina, para
,
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte que liga integrais e derivadas): se uma função é contínua então sua integral definida até
é uma função diferenciável e a derivada dessa função é a função original. Portanto:
-
e são contínuas em e diferenciáveis em . - Além disso, para todo
vale
Também é visível que
Passo 3
Enunciado e prova do Teorema do Valor Médio de Cauchy (num estilo curto e prático): se
e
são contínuas em
e diferenciáveis em
, então existe
tal que
Uma prova rápida (útil para entender por que vale): considere a função
Temos
. Como
é contínua em
e diferenciável em
, pelo Teorema de Rolle existe
com
. Calculando
obtém-se exatamente
que é a fórmula do Teorema de Cauchy.
Passo 4
Agora aplique o Teorema de Cauchy às primitivas
e
definidas no Passo 2. Como
e
satisfazem as hipóteses (continuidade em
, diferenciabilidade em
), existe
tal que
Substituindo
,
,
, e
,
, obtemos
que é exatamente a igualdade que queríamos mostrar.
Observação sobre casos degenera-dos: se
e
a igualdade é trivial (0 = 0) para qualquer
. O argumento acima também cobre esses casos sem problema, já que a construção de
e
e a aplicação de Cauchy continuam válidas.
Passo 5
Interpretação final curta (pra animar): a ideia foi transformar as integrais em valores de primitivas nos extremos e então usar o Teorema do Valor Médio de Cauchy para essas primitivas; esse teorema garante exatamente uma relação entre as derivadas em algum ponto
, que vira a relação entre
e
multiplicadas pelas integrais totais.