Sejam f, g: I \rightarrow \mathbb{R} contínuas em I. Dados a, b \in I mostre que existe c \in[a, b] tal que
g\text{(c)} \int_{a}^{b} f=f\text{(c)} \int_{a}^{b} g .
Sugestão: Aplique o Teorema do Valor Médio de Cauchy nas primitivas de f e g em [a, b].

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente isto:
  • Dados: f,g:I\to\mathbb{R} contínuas em I e a,b\in I.
  • Objetivo: mostrar que existe c\in[a,b] tal que
g\text{(c)}\int_{a}^{b} f = f\text{(c)}\int_{a}^{b} g.
Anotações úteis sobre notação (só para ficar claro): quando escrevo \int_{a}^{x} f(t)\,dt estou usando a forma usual de primitiva definida a partir de a.

Passo 2

Construir primitivas de f e g: defina, para x\in[a,b],
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,\qquad G(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte que liga integrais e derivadas): se uma função é contínua então sua integral definida até x é uma função diferenciável e a derivada dessa função é a função original. Portanto:
  • F e G são contínuas em [a,b] e diferenciáveis em (a,b).
  • Além disso, para todo x\in(a,b) vale
F'(x)=f(x),\qquad G'(x)=g(x).
Também é visível que
F(a)=\int_a^a f(t)\,dt=0,\qquad G(a)=0.

Passo 3

Enunciado e prova do Teorema do Valor Médio de Cauchy (num estilo curto e prático): se U e V são contínuas em [a,b] e diferenciáveis em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
\big(U(b)-U(a)\big)V'\text{(c)}=\big(V(b)-V(a)\big)U'\text{(c)}.
Uma prova rápida (útil para entender por que vale): considere a função
H(x)=\big(U(b)-U(a)\big)V(x)-\big(V(b)-V(a)\big)U(x).
Temos H(a)=H(b)=0. Como H é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), pelo Teorema de Rolle existe c\in(a,b) com H'\text{(c)}=0. Calculando H' obtém-se exatamente
\big(U(b)-U(a)\big)V'\text{(c)}-\big(V(b)-V(a)\big)U'\text{(c)}=0,
que é a fórmula do Teorema de Cauchy.

Passo 4

Agora aplique o Teorema de Cauchy às primitivas F e G definidas no Passo 2. Como F e G satisfazem as hipóteses (continuidade em [a,b], diferenciabilidade em (a,b)), existe c\in(a,b)\subseteq[a,b] tal que
\big(F(b)-F(a)\big)G'\text{(c)}=\big(G(b)-G(a)\big)F'\text{(c)}.
Substituindo F(a)=G(a)=0, F(b)=\int_{a}^{b} f(t)\,dt, G(b)=\int_{a}^{b} g(t)\,dt, e F'\text{(c)}=f\text{(c)}, G'\text{(c)}=g\text{(c)}, obtemos
\left(\int_{a}^{b} f(t)\,dt\right) g\text{(c)}=\left(\int_{a}^{b} g(t)\,dt\right) f\text{(c)},
que é exatamente a igualdade que queríamos mostrar.
Observação sobre casos degenera-dos: se \int_a^b f=0 e \int_a^b g=0 a igualdade é trivial (0 = 0) para qualquer c. O argumento acima também cobre esses casos sem problema, já que a construção de F e G e a aplicação de Cauchy continuam válidas.

Passo 5

Interpretação final curta (pra animar): a ideia foi transformar as integrais em valores de primitivas nos extremos e então usar o Teorema do Valor Médio de Cauchy para essas primitivas; esse teorema garante exatamente uma relação entre as derivadas em algum ponto c, que vira a relação entre f\text{(c)} e g\text{(c)} multiplicadas pelas integrais totais.

Resposta

\exists\,c\in[a,b] tal que \;g\text{(c)}\int_{a}^{b} f = f\text{(c)}\int_{a}^{b} g.

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