Seja
uma função contínua, positiva e não crescente. Mostre que
. Além disso, mostre que, qualquer que seja
, vale
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tomei estas como dadas):
-
é contínua, positiva e não crescente (isto é, não aumenta). - Queremos provar duas coisas:
- Para todo
com vale
- Para todo
vale
- Para todo
Passo 2
Primeiro, vou usar diretamente o que significa “não crescente”. A função
ser não crescente significa que, para quaisquer
com
,
Fixe um inteiro
. Para qualquer ponto
no intervalo
temos
. Aplicando a propriedade acima com
e
e também com
e
, obtemos, para todo
,
Em palavras: sobre o intervalo
o maior valor (supremo) de
é
e o menor (ínfimo) é
.
Passo 3
Agora uso uma propriedade simples dos integrais: se
para todo
em
e ambas são integráveis, então
Aplicando isso às desigualdades constantes-obtidas no passo anterior, com
(constante) e
(constante), e lembrando que
para todo
, segue
Passo 4
Calculo as integrais das constantes: a integral de uma constante
em um intervalo de comprimento
vale
. Assim
Substituindo essas identidades na desigualdade do passo anterior obtemos exatamente
que é a primeira afirmação pedida.
Passo 5
Para chegar à segunda desigualdade somamos as desigualdades obtidas no passo anterior para
. Como soma e integral são operações lineares, somando os termos médios obtemos
Somando as desigualdades
chegamos a
Passo 6
Por fim, reindexando a soma da esquerda:
. Substituindo isso na desigualdade do passo anterior obtemos a forma final desejada:
(Isto também pode ser visto intuitivamente como dizer que as somas de retângulos à direita e à esquerda nas partições inteiras fornecem, respectivamente, uma aproximação por baixo e por cima da integral — visão de somas de Riemann.)