Seja f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua, positiva e não crescente. Mostre que f(k+1) \leq \int_{k}^{k+1} f \leq f(k). Além disso, mostre que, qualquer que seja n \in \mathbb{N}, vale
\sum_{k=2}^{n+1} f(k) \leq \int_{1}^{n+1} f \leq \sum_{k=1}^{n} f(k)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tomei estas como dadas):
  • f:[1,+\infty)\to\mathbb{R} é contínua, positiva e não crescente (isto é, não aumenta).
  • Queremos provar duas coisas:
    1. Para todo k\in\mathbb{N} com k\ge 1 vale
    f(k+1)\le \int_{k}^{\,k+1} f(x)\,dx \le f(k).
    1. Para todo n\in\mathbb{N} vale
    \sum_{k=2}^{n+1} f(k)\le \int_{1}^{\,n+1} f(x)\,dx \le \sum_{k=1}^{n} f(k).

Passo 2

Primeiro, vou usar diretamente o que significa “não crescente”. A função f ser não crescente significa que, para quaisquer x,y com x\le y,
f(x)\ge f(y).
Fixe um inteiro k\ge 1. Para qualquer ponto x no intervalo [k,k+1] temos k\le x\le k+1. Aplicando a propriedade acima com x=k e y=x e também com x=x e y=k+1, obtemos, para todo x\in[k,k+1],
f(k)\ge f(x)\ge f(k+1).
Em palavras: sobre o intervalo [k,k+1] o maior valor (supremo) de f é f(k) e o menor (ínfimo) é f(k+1).

Passo 3

Agora uso uma propriedade simples dos integrais: se g(x)\le h(x) para todo x em [a,b] e ambas são integráveis, então
\int_a^b g(x)\,dx \le \int_a^b h(x)\,dx.
Aplicando isso às desigualdades constantes-obtidas no passo anterior, com g(x)=f(k+1) (constante) e h(x)=f(k) (constante), e lembrando que f(k+1)\le f(x)\le f(k) para todo x\in[k,k+1], segue
\int_{k}^{\,k+1} f(k+1)\,dx \le \int_{k}^{\,k+1} f(x)\,dx \le \int_{k}^{\,k+1} f(k)\,dx.

Passo 4

Calculo as integrais das constantes: a integral de uma constante c em um intervalo de comprimento 1 vale c\cdot 1=c. Assim
\int_{k}^{\,k+1} f(k+1)\,dx = f(k+1)\cdot (k+1-k)=f(k+1),
\int_{k}^{\,k+1} f(k)\,dx = f(k)\cdot (k+1-k)=f(k).
Substituindo essas identidades na desigualdade do passo anterior obtemos exatamente
f(k+1)\le \int_{k}^{\,k+1} f(x)\,dx \le f(k),
que é a primeira afirmação pedida.

Passo 5

Para chegar à segunda desigualdade somamos as desigualdades obtidas no passo anterior para k=1,2,\dots,n. Como soma e integral são operações lineares, somando os termos médios obtemos
\sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{\,k+1} f(x)\,dx = \int_{1}^{\,n+1} f(x)\,dx.
Somando as desigualdades
f(k+1)\le \int_{k}^{\,k+1} f(x)\,dx \le f(k)\qquad\text{para }k=1,\dots,n,
chegamos a
\sum_{k=1}^{n} f(k+1)\le \int_{1}^{\,n+1} f(x)\,dx \le \sum_{k=1}^{n} f(k).

Passo 6

Por fim, reindexando a soma da esquerda: \sum_{k=1}^{n} f(k+1)=\sum_{k=2}^{n+1} f(k). Substituindo isso na desigualdade do passo anterior obtemos a forma final desejada:
\sum_{k=2}^{n+1} f(k)\le \int_{1}^{\,n+1} f(x)\,dx \le \sum_{k=1}^{n} f(k).
(Isto também pode ser visto intuitivamente como dizer que as somas de retângulos à direita e à esquerda nas partições inteiras fornecem, respectivamente, uma aproximação por baixo e por cima da integral — visão de somas de Riemann.)

Resposta

\displaystyle f(k+1)\le \int_{k}^{\,k+1} f(x)\,dx \le f(k)
\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} f(k)\le \int_{1}^{\,n+1} f(x)\,dx \le \sum_{k=1}^{n} f(k)

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