Sejam
funções inteiras e
. Mostre que
e
são funções inteiras.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são funções inteiras (isto é, definidas e complexamente diferenciáveis em todo
) e que
. Pede-se mostrar duas coisas:
- Que a composição
é uma função inteira. - Que a combinação linear
é uma função inteira.
Informações relevantes fornecidas:
são inteiras;
. O objetivo é provar propriedades de diferenciabilidade complexa para as funções formadas a partir de
e
.
Passo 2
Lembrete (definição útil): uma função
é inteira se for complexamente diferenciável em todo ponto
. Complexamente diferenciável em
significa que o limite
existe (e é o derivado
). Para provar que uma função é inteira basta mostrar que em um ponto arbitrário
esse limite existe; como
é arbitrário, segue para todo
.
Vou primeiro provar a parte da combinação linear (mais direta) e depois a composição (onde entra a regra da cadeia).
Passo 3
Prova de que
é diferenciável em um ponto arbitrário
. Escreva a diferença quociente:
Como
e
são diferenciáveis em
(são inteiras), os limites das frações à direita existem e valem
e
. Multiplicando por escalares e somando, o limite do lado esquerdo existe e é
Passo 4
Concluímos do passo anterior que para qualquer
existe o derivado de
e ele é
. Como
foi arbitrário,
é diferenciável em todo
, logo é inteira.
Passo 5
Prova de que
é diferenciável em um ponto arbitrário
. Defina
. Como
é diferenciável em
, podemos escrever, usando a expansão em primeira ordem com um resto pequeno,
onde
.
Como é diferenciável em
, para
próximo de
temos
Como
onde
.
Agora substituímos
(ou seja,
) na expressão de
:
Passo 6
Divida a igualdade do passo anterior por
:
Já sabemos que
. Resta mostrar que
. Observe que
Quando
temos
, então o primeiro fator tende a
(pela propriedade de
) e o segundo fator tende a
. Logo o produto tende a
. Portanto o segundo termo da soma acima tende a
.
Assim, tomando limites em ambos os lados,
Isso mostra que
é diferenciável em
, com derivada
.
Passo 7
Como
foi escolhido arbitrariamente, a conclusão vale para todo
. Logo
é diferenciável em todo
, ou seja,
é inteira. Relembrando os resultados: somas e multiplicações por escalares preservam diferenciabilidade complexa, e a composição de funções diferenciáveis satisfaz a regra da cadeia que usamos.