Mostre que
é harmônica em algum domínio quando
;
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que a função
é harmônica em algum domínio.
Informações dadas: a expressão explícita de é
.
Pergunta explícita: provar que é harmônica (isto é, verificar que satisfaz a equação de Laplace) em algum domínio adequado.
Informações dadas: a expressão explícita de
Pergunta explícita: provar que
Passo 2
Definição e o que precisamos verificar (aula rápida e clara): uma função real
é dita harmônica em um domínio se duas condições forem satisfeitas:
-
é duas vezes continuamente diferenciável no domínio (isto é, no domínio); - o Laplaciano de
é zero em todo o domínio, onde o Laplaciano em coordenadas cartesianas é dado por
Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
duas vezes, mantendo
fixo; análogo para
.
Passo 3
Vamos calcular passo a passo as derivadas parciais primeiras. Lembre-se: ao derivar em relação a
tratamos
como constante, e vice-versa.
A função é
.
Derivando em :
Derivando em
porque a derivada de
em relação a
é
e o fator
é constante em relação a
.
Derivando agora em
:
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas parciais necessárias para o Laplaciano.
Derivando
em relação a
novamente (lembrando que aqui
é constante), obtemos
pois
não depende de
.
Derivando
em relação a
(agora
é constante), obtemos
pois
não depende de
.
Passo 5
Somando as segundas derivadas para formar o Laplaciano:
Portanto
satisfaz
onde as derivadas existem.
Além disso,
é um polinômio em
e
, logo é
em toda
. Isso garante que a condição de suavidade (duas derivadas contínuas) vale em qualquer domínio aberto de
.
Passo 6
Conclusão didática e prática: como
em toda
e
é
globalmente, a função é harmônica em qualquer domínio aberto (conexo) de
— por exemplo no disco unitário, no retângulo qualquer ou em todo
.