Mostre que u(x, y) é harmônica em algum domínio quando
u(x, y)=2 x(1-y);

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a função \,u(x,y)=2x(1-y)\, é harmônica em algum domínio.
Informações dadas: a expressão explícita de u é \,u(x,y)=2x(1-y)\,.
Pergunta explícita: provar que u é harmônica (isto é, verificar que satisfaz a equação de Laplace) em algum domínio adequado.

Passo 2

Definição e o que precisamos verificar (aula rápida e clara): uma função real u(x,y) é dita harmônica em um domínio se duas condições forem satisfeitas:
  1. u é duas vezes continuamente diferenciável no domínio (isto é, u\in C^2 no domínio);
  2. o Laplaciano de u é zero em todo o domínio, onde o Laplaciano em coordenadas cartesianas é dado por
\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
Explicando: \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} é a derivada parcial de u em relação a x duas vezes, mantendo y fixo; análogo para \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo as derivadas parciais primeiras. Lembre-se: ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa.
A função é \,u(x,y)=2x(1-y)\,.
Derivando em x:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2(1-y),
porque a derivada de 2x em relação a x é 2 e o fator (1-y) é constante em relação a x.
Derivando agora em y:
\frac{\partial u}{\partial y} = 2x\cdot\frac{d}{dy}(1-y)=2x\cdot(-1)=-2x.

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas parciais necessárias para o Laplaciano.
Derivando \frac{\partial u}{\partial x}=2(1-y) em relação a x novamente (lembrando que aqui y é constante), obtemos
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,
pois 2(1-y) não depende de x.
Derivando \frac{\partial u}{\partial y}=-2x em relação a y (agora x é constante), obtemos
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,
pois -2x não depende de y.

Passo 5

Somando as segundas derivadas para formar o Laplaciano:
\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 + 0 = 0.
Portanto u satisfaz \Delta u=0 onde as derivadas existem.
Além disso, u(x,y) é um polinômio em x e y, logo é C^\infty em toda \mathbb{R}^2. Isso garante que a condição de suavidade (duas derivadas contínuas) vale em qualquer domínio aberto de \mathbb{R}^2.

Passo 6

Conclusão didática e prática: como \Delta u=0 em toda \mathbb{R}^2 e u é C^2 globalmente, a função é harmônica em qualquer domínio aberto (conexo) de \mathbb{R}^2 — por exemplo no disco unitário, no retângulo qualquer ou em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

u é harmônica em qualquer domínio aberto de \mathbb{R}^2, pois \Delta u=0.

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