Mostre que para todo
e para todo
temos
.
Dica: Primeiro mostre para
usando indução. Depois use os fatos
e
para extender o resultado para
.
Dica: Primeiro mostre para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que para todo inteiro
e todo número complexo
vale a lei dos expoentes:
. O conteúdo é a propriedade de exponenciais no contexto dos números complexos e vamos usar indução para
e depois as propriedades de inverso e de expoente negativo para estender a
.
Passo 2
Para
usamos a convenção de que qualquer número (complexo ou real) elevado a zero vale 1. Logo,
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portanto
Passo 3
Agora assuma que a igualdade vale para algum
, isto é,
. Vamos mostrar para
:
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Passo 4
Assim, por indução, a fórmula vale para todo
.
Passo 5
Para estender a
, escreva
com
. Usamos que
e que
. Então:
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Passo 6
Logo, a igualdade
vale para todo inteiro
, positivo, zero ou negativo.
Resposta
Para todo
e todo
temos
.