Mostre que para todo n in Z e para todo z in C temos (e^z)^n=e^n z.
Dica: Primeiro mostre para n=0,1,2, ldots usando indução. Depois use os fatos z^-n= (z^-1)^n e e^-z=1 / e^z para extender o resultado para n<0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para todo inteiro n e todo número complexo z vale a lei dos expoentes: (e^z)^n = e^n z. O conteúdo é a propriedade de exponenciais no contexto dos números complexos e vamos usar indução para n>=0 e depois as propriedades de inverso e de expoente negativo para estender a n<0.

Passo 2

Para n=0 usamos a convenção de que qualquer número (complexo ou real) elevado a zero vale 1. Logo,
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(e^z)^0 = 1 e e^0cdot z = e^0 = 1,
portanto (e^z)^0 = e^0,z.

Passo 3

Agora assuma que a igualdade vale para algum n>=0, isto é, (e^z)^n = e^n z. Vamos mostrar para n+1:
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(e^z)^n+1 = (e^z)^n cdot e^z = e^n z cdot e^z = e^n z + z = e^(n+1)z

Passo 4

Assim, por indução, a fórmula vale para todo n=0,1,2,dots.

Passo 5

Para estender a n<0, escreva n=-m com m>0. Usamos que e^-z = 1/e^z e que (w)^-m = (w^-1)^m. Então:
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(e^z)^n = (e^z)^-m = 1(e^z)^m = (e^-z)^m = e^-m z = e^n z

Passo 6

Logo, a igualdade (e^z)^n = e^n z vale para todo inteiro n, positivo, zero ou negativo.

Resposta

Para todo ninZ e todo zinC temos (e^z)^n = e^n z.

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