Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções periódicas de período T. Mostre que
(h) Se h é uma função qualquer (não necessariamente periódica), então a composta h \circ f é periódica de período T.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui foi retirado do próprio enunciado):
  • f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} são funções periódicas de período T.
  • A tarefa é mostrar que, para qualquer função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} (não necessariamente periódica), a composta h\circ f é periódica de período T.
Além disso, lembro o que significa dizer que uma função tem período T: isso quer dizer que, para toda x\in\mathbb{R},
f(x+T)=f(x).
(A hipótese está dizendo que essa igualdade vale para f — e também, por hipótese, para g, embora só precisemos de f aqui.)

Passo 2

Vou lembrar o que é uma composição de funções de um jeito bem direto e concreto: a função composta h\circ f é definida por
(h\circ f)(x)=h\bigl(f(x)\bigr)
para todo x\in\mathbb{R}. O que precisamos provar é que T é um período de h\circ f, isto é, que a igualdade
(h\circ f)(x+T)=(h\circ f)(x)
vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Agora fazemos o cálculo direto, usando apenas a definição de composição e a periodicidade de f. Para todo x\in\mathbb{R},
(h\circ f)(x+T)=h\bigl(f(x+T)\bigr).
Como f tem período T, temos f(x+T)=f(x). Substituindo nessa expressão obtemos
(h\circ f)(x+T)=h\bigl(f(x)\bigr)=(h\circ f)(x).

Passo 4

Interpretando: a igualdade acima mostra que para qualquer x a imagem de x+T por h\circ f é a mesma imagem de x. Isso é exatamente a definição de periodicidade com período T. Note que não foi usada nenhuma propriedade especial de h — só importa que h aceite valores reais como entrada — por isso a prova vale para qualquer h.

Passo 5

Observação útil para a prova/outra intuição: é possível que h\circ f tenha um período próprio mais curto que T (por exemplo, f(x)=\sin x tem período 2\pi, e se h(y)=y^2 então h\circ f=\sin^2 x tem período \pi). Mesmo assim, T continua sendo um período válido de h\circ f — a definição exige apenas a existência de algum período, e aqui mostramos que T funciona.

Resposta

A função h\circ f é periódica de período T.

Exercícios relacionados