Sejam
funções periódicas de período
. Mostre que
(h) Se
é uma função qualquer (não necessariamente periódica), então a composta
é periódica de período
.
(h) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui foi retirado do próprio enunciado):
-
são funções periódicas de período . - A tarefa é mostrar que, para qualquer função
(não necessariamente periódica), a composta é periódica de período .
Além disso, lembro o que significa dizer que uma função tem período
: isso quer dizer que, para toda
,
(A hipótese está dizendo que essa igualdade vale para
— e também, por hipótese, para
, embora só precisemos de
aqui.)
Passo 2
Vou lembrar o que é uma composição de funções de um jeito bem direto e concreto: a função composta
é definida por
para todo
. O que precisamos provar é que
é um período de
, isto é, que a igualdade
vale para todo
.
Passo 3
Agora fazemos o cálculo direto, usando apenas a definição de composição e a periodicidade de
. Para todo
,
Como
tem período
, temos
. Substituindo nessa expressão obtemos
Passo 4
Interpretando: a igualdade acima mostra que para qualquer
a imagem de
por
é a mesma imagem de
. Isso é exatamente a definição de periodicidade com período
. Note que não foi usada nenhuma propriedade especial de
— só importa que
aceite valores reais como entrada — por isso a prova vale para qualquer
.
Passo 5
Observação útil para a prova/outra intuição: é possível que
tenha um período próprio mais curto que
(por exemplo,
tem período
, e se
então
tem período
). Mesmo assim,
continua sendo um período válido de
— a definição exige apenas a existência de algum período, e aqui mostramos que
funciona.
Resposta
A função
é periódica de período
.