Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções periódicas de período T. Mostre que
(f) f\left(\frac{x}{a}\right) é periódica de período a T.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informações dadas:
    • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é periódica de período T. Ou seja, para todo x\in\mathbb{R} vale alguma igualdade envolvendo T.
    • Há uma constante real a. (Observação: para que f\!\left(\dfrac{x}{a}\right) faça sentido para todo x precisamos ter a\neq0. Vou assumir a\neq0.)
  • O que o problema pede:
    • Mostrar que a função x\mapsto f\!\left(\dfrac{x}{a}\right) é periódica de período aT.
Nada mais será usado do enunciado além do que está listado acima.

Passo 2

Vamos recordar nitidamente o que significa "função periódica de período T". Esta é a definição que usarei.
  • Definição: dizer que f é periódica de período T significa que T é um número tal que, para todo x\in\mathbb{R},
f(x+T)=f(x).
  • Explicação das letras:
    • x é uma variável qualquer (um ponto do domínio).
    • T é o período: um valor que quando somado a x deixa a função com o mesmo valor.
  • Nota didática: muitas vezes exige-se T>0 para chamarmos de “período”, e o menor T>0 que satisfaz essa igualdade é chamado período fundamental. Aqui basta mostrar que um certo número (aqui aT) satisfaz a igualdade de periodicidade.

Passo 3

Defino a função que quero estudar e explico claramente o objetivo intermédio.
  • Definição: seja h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
h(x)=f\!\left(\dfrac{x}{a}\right).
  • Objetivo: mostrar que existe um número (especificamente aT) tal que, para todo x,
h(x+aT)=h(x).
Se conseguir isso, terei mostrado que aT é um período de h, o que responde ao enunciado.

Passo 4

Fazendo a conta principal, passo a passo (sem pular nada).
  • Começo calculando h(x+aT) usando a definição de h:
h(x+aT)=f\!\left(\dfrac{x+aT}{a}\right).
  • Agora uso propriedades da divisão para separar a fração:
\dfrac{x+aT}{a}=\dfrac{x}{a}+\dfrac{aT}{a}=\dfrac{x}{a}+T.
  • Substituo na expressão de h:
h(x+aT)=f\!\left(\dfrac{x}{a}+T\right).
  • Como f é periódica de período T, vale para todo argumento y que f(y+T)=f(y). Aqui posso aplicar essa igualdade com y=\dfrac{x}{a}. Assim
f\!\left(\dfrac{x}{a}+T\right)=f\!\left(\dfrac{x}{a}\right).
  • Portanto, juntando as igualdades,
h(x+aT)=f\!\left(\dfrac{x}{a}+T\right)=f\!\left(\dfrac{x}{a}\right)=h(x).
Isso mostra diretamente que aT é um período de h.

Passo 5

Interpretação final e observações úteis para a prova (o que se pode dizer além da conta).
  • Conclusão imediata: a igualdade h(x+aT)=h(x) para todo x prova que h(x)=f\!\left(\dfrac{x}{a}\right) é periódica com período aT.
  • Observação sobre o sinal de a: se a>0, então aT>0 e é um período positivo de h. Se a<0, então aT é negativo; normalmente chamamos de período um número positivo, então nesse caso |a|T também é um período positivo de h (porque, substituindo a por -|a| na conta, verifica-se que h(x+|a|T)=h(x)). Em resumo, aT é um período algébrico, e o período positivo correspondente é |a|T.
  • Observação sobre período mínimo: provar que aT é período não implica que seja o menor período possível de h. Pode existir um período fundamental menor. O exercício apenas pedia para mostrar que aT é período, então isso basta.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia (fazendo na “hora da prova” um exemplo rápido é bom para checar se entendeu).
  • Tome f(x)=\sin x, que tem período T=2\pi.
  • Defina h(x)=f\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
  • Pelo resultado mostrado, h tem período aT com a=2, ou seja 2\cdot 2\pi=4\pi. E de fato \sin\!\big(\tfrac{(x+4\pi)}{2}\big)=\sin\!\big(\tfrac{x}{2}+2\pi\big)=\sin\!\big(\tfrac{x}{2}\big).

Resposta

\displaystyle f\!\left(\dfrac{x}{a}\right) é periódica de período aT (mais precisamente, tem período positivo |a|T).

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