Sejam
funções periódicas de período
. Mostre que
(f)
é periódica de período
.
(f)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Informações dadas:
-
é periódica de período . Ou seja, para todo vale alguma igualdade envolvendo . - Há uma constante real
. (Observação: para que faça sentido para todo precisamos ter . Vou assumir .)
-
-
O que o problema pede:
- Mostrar que a função
é periódica de período .
- Mostrar que a função
Nada mais será usado do enunciado além do que está listado acima.
Passo 2
Vamos recordar nitidamente o que significa "função periódica de período
". Esta é a definição que usarei.
- Definição: dizer que
é periódica de período significa que é um número tal que, para todo ,
- Explicação das letras:
-
é uma variável qualquer (um ponto do domínio). -
é o período: um valor que quando somado a deixa a função com o mesmo valor.
-
- Nota didática: muitas vezes exige-se
para chamarmos de “período”, e o menor que satisfaz essa igualdade é chamado período fundamental. Aqui basta mostrar que um certo número (aqui ) satisfaz a igualdade de periodicidade.
Passo 3
Defino a função que quero estudar e explico claramente o objetivo intermédio.
- Definição: seja
dada por
- Objetivo: mostrar que existe um número (especificamente
) tal que, para todo ,
Se conseguir isso, terei mostrado que
é um período de
, o que responde ao enunciado.
Passo 4
Fazendo a conta principal, passo a passo (sem pular nada).
- Começo calculando
usando a definição de :
- Agora uso propriedades da divisão para separar a fração:
- Substituo na expressão de
:
- Como
é periódica de período , vale para todo argumento que . Aqui posso aplicar essa igualdade com . Assim
- Portanto, juntando as igualdades,
Isso mostra diretamente que
é um período de
.
Passo 5
Interpretação final e observações úteis para a prova (o que se pode dizer além da conta).
- Conclusão imediata: a igualdade
para todo prova que é periódica com período . - Observação sobre o sinal de
: se , então e é um período positivo de . Se , então é negativo; normalmente chamamos de período um número positivo, então nesse caso também é um período positivo de (porque, substituindo por na conta, verifica-se que ). Em resumo, é um período algébrico, e o período positivo correspondente é . - Observação sobre período mínimo: provar que
é período não implica que seja o menor período possível de . Pode existir um período fundamental menor. O exercício apenas pedia para mostrar que é período, então isso basta.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar a ideia (fazendo na “hora da prova” um exemplo rápido é bom para checar se entendeu).
- Tome
, que tem período . - Defina
. - Pelo resultado mostrado,
tem período com , ou seja . E de fato .