Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções periódicas de período T. Mostre que
(g) f(a x) é periódica de período \frac{T}{a}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Dado: f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é periódica de período T. Ou seja, para todo x\in\mathbb{R} vale a propriedade
f(x+T)=f(x).
Parâmetro: há um número real a (é preciso assumir a\neq0, porque dividir por a exige a\neq0).
Pedido: mostrar que a função definida por x\mapsto f(ax) é periódica e que um período é \dfrac{T}{a}.
Não se resolve nada ainda aqui: apenas listei o que o enunciado dá e o que ele pede.
Passo 2
Lembrando a definição de periodicidade (outra vez, explicando com calma): uma função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é periódica de período P se, para todo x\in\mathbb{R},
h(x+P)=h(x).
Aqui queremos aplicar essa definição à função h(x)=f(ax). Ou seja, devemos verificar que, para todo x,
f\bigl(a(x+(\text{período}))\bigr)=f(ax).
O objetivo será escolher o “período” igual a \dfrac{T}{a} e verificar a igualdade acima. Repare que tudo aqui é manipulação algébrica simples: substituir x por x+\dfrac{T}{a} e usar a periodicidade de f.
Passo 3
Agora efetuo a substituição pedida e uso a hipótese f(x+T)=f(x). Tome qualquer x\in\mathbb{R}. Considere
Isso mostra exatamente que x\mapsto f(ax) satisfaz a condição de periodicidade com período \dfrac{T}{a}.
Passo 4
Comentários importantes e dicas para prova (coisa prática):
É necessário que a\neq0, senão \dfrac{T}{a} não faz sentido.
Se se exige um período positivo (normalmente chamamos de período o menor número positivo que funciona), use o valor positivo \left|\dfrac{T}{a}\right| — pois \dfrac{T}{a} pode ser negativo quando a<0, mas a propriedade h(x+P)=h(x) vale também para P negativo; na prática toma-se o módulo como comprimento do período.
Atenção: \dfrac{T}{a} é um período de f(ax), mas pode não ser o menor período (período fundamental). Por exemplo, se f tiver um período menor que T ou se houver cancelamentos especiais (função constante etc.), o período fundamental de f(ax) pode ser um divisor de \dfrac{T}{a}.
Passo 5
Exemplo concreto para fixar a ideia:
Tome f(x)=\sin x, que tem período T=2\pi. Então f(ax)=\sin(ax). Pelo que mostramos, um período é \dfrac{2\pi}{a}. Verificando: \sin\bigl(a(x+\tfrac{2\pi}{a})\bigr)=\sin(ax+2\pi)=\sin(ax), como esperado. Geralmente esse é também o período fundamental (exceto em casos degenera-dos).
Resposta
Um período de f(ax) é \dfrac{T}{a} (assumindo a\neq0); para o período positivo tome \left|\dfrac{T}{a}\right|.