3 Sejam F, G: R^3 R^3, definidas por F(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y) e G(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z). Determine: F circ G, ker(F circ G), e Im(F circ G).

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares F,Gcolon R^3toR^3 definidas por
F(x,y,z)=(y+z,;x+z,;x+y), G(x,y,z)=(x+2y,;y-z,;x+2z)
O que precisamos é
  1. encontrar Fcirc G,
  2. determinar ker(Fcirc G),
  3. determinar Im(Fcirc G).
    Para isso, vamos usar matrizes nas bases canônicas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as matrizes de F e G na base canônica:
AF= 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 , AG= 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2
Aqui cada linha de AF e AG corresponde aos coeficientes das componentes de F e G.

Passo 3

A matriz de Fcirc G é
A = AF,AG = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2 = 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 1 & 3 & -1
Logo, para (x,y,z)inR^3,
(Fcirc G)(x,y,z) =l(x+y+z,;2x+2y+2z,;x+3y-zr)

Passo 4

Para
A segunda equação é . Substituindo na segunda:
Portanto
e

Passo 5

A imagem é o espaço gerado pelas colunas de :
Note que
logo é base da imagem e fica em seu span. Assim
com .

Resposta

.
.

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