Expresse a matriz (rrrr3 & 1 & 8 6 & 4 & 9 6 & 5 & 1) como soma de uma matriz simétrica e outra anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para expressar a matriz
A = 3 & 1 & 8 6 & 4 & 9 6 & 5 & 1
como soma de uma matriz simétrica e outra anti-simétrica. O conteúdo aqui é a decomposição canônica de qualquer matriz quadrada A em
A = A + A^T2 ;+;A - A^T2,
onde A + A^T2 é simétrica e A - A^T2 é anti-simétrica.

Passo 2

Calculemos primeiro a transposta de A:
A^T = 3 & 6 & 6 1 & 4 & 5 8 & 9 & 1

Passo 3

Agora formamos a parte simétrica
S = A + A^T2
Primeiro,
A + A^T = 3 & 1 & 8 6 & 4 & 9 6 & 5 & 1 + 3 & 6 & 6 1 & 4 & 5 8 & 9 & 1 = 6 & 7 & 14 7 & 8 & 14 14 & 14 & 2 ,
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S = 12 6 & 7 & 14 7 & 8 & 14 14 & 14 & 2 = 3 & tfrac72 & 7 tfrac72 & 4 & 7 7 & 7 & 1 ,
que de fato satisfaz S^T = S.

Passo 4

Em seguida, construímos a parte anti-simétrica
K = A - A^T2
Primeiro,
A - A^T = 3 & 1 & 8 6 & 4 & 9 6 & 5 & 1 - 3 & 6 & 6 1 & 4 & 5 8 & 9 & 1 = 0 & -5 & 2 5 & 0 & -4 -2 & 4 & 0 ,
portanto
K = 12 0 & -5 & 2 5 & 0 & -4 -2 & 4 & 0 = 0 & -tfrac52 & 1 tfrac52 & 0 & -2 -1 & 2 & 0 ,
e verifica-se que K^T = -K.

Resposta

A = S + K = 3 & tfrac72 & 7 tfrac72 & 4 & 7 7 & 7 & 1 + 0 & -tfrac52 & 1 tfrac52 & 0 & -2 -1 & 2 & 0

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