Reduza a matriz A=(ccc1 & 3 & 9 2 & 8 & 4 3 & 6 & 7) a uma matriz escalonada reduzida R. Escreva a matriz elementar em cada um dos passos, e depois ache a matriz inversível P dada pelo produto destas matrizes elementares e verifique que R=P A.

Passo 1

O enunciado pede para reduzir
A = 1 & 3 & 9 2 & 8 & 4 3 & 6 & 7
à forma escalonada reduzida R, escrevendo em cada passo a matriz elementar correspondente. Em seguida devemos definir
P = Ek cdots E2 E1
como o produto dessas matrizes elementares e verificar que
R = P,A
O conteúdo utilizado é a representação de operações elementares de linha por matrizes elementares e a obtenção da inversa via produto destas.

Passo 2

Primeiro anulamos a21. A operação é
R2 R2 - 2,R1
A matriz elementar que faz isso é
E1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
e
E1 A = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 3 & 9 2 & 8 & 4 3 & 6 & 7 = 1 & 3 & 9 0 & 2 & -14 3 & 6 & 7

Passo 3

Agora anulamos a31. A operação é
R3 R3 - 3,R1,
matriz elementar
E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -3 & 0 & 1
Logo
E2(E1A) = 1 & 3 & 9 0 & 2 & -14 0 & -3 & -20

Passo 4

Escalonamos o pivô em (2,2). Primeiro normalizamos
R2 tfrac12,R2,
com
E3 = 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 ,
ficando
E3 E2 E1 A = 1 & 3 & 9 0 & 1 & -7 0 & -3 & -20

Passo 5

Anulamos a32 por
R3 R3 + 3,R2,
com
E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 3 & 1 ,
obtemos
E4 E3 E2 E1 A = 1 & 3 & 9 0 & 1 & -7 0 & 0 & -41

Passo 6

Normalizamos o pivô em (3,3) fazendo
R3 -tfrac141,R3,
com
E5 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -tfrac141
Então
E5E4E3E2E1A = 1 & 3 & 9 0 & 1 & -7 0 & 0 & 1

Passo 7

Eliminamos acima do pivô (3,3) em R2:
R2 R2 + 7,R3,
com
E6 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 7 0 & 0 & 1 ,
resultando em
E6E5E4E3E2E1A = 1 & 3 & 9 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 8

Eliminamos acima em R1 na coluna 3:
R1 R1 - 9,R3,
com
E7 = 1 & 0 & -9 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
obtendo
E7E6E5E4E3E2E1A = 1 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 9

Por fim anulamos a12:
R1 R1 - 3,R2,
com
E8 = 1 & -3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então a forma escalonada reduzida é
R = E8E7E6E5E4E3E2E1,A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A forma escalonada reduzida é
R = I3
A matriz inversível é
P = E8E7E6E5E4E3E2E1,
que coincide com A^-1, e de fato
P,A = R = I3

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