Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R}, a \in X^{\prime}, com \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M. Prove que
\lim _{x \rightarrow a}[\lambda f(x)]=\lambda L;

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f,g\colon X\to\mathbb{R} e um ponto de acumulação a\in X'. Sabemos que
\lim_{x\to a}f(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a}g(x)=M,
e precisamos mostrar que, para uma constante \lambda\in\mathbb{R},
\lim_{x\to a}\bigl[\lambda\,f(x)\bigr]=\lambda\,L.
O conteúdo aqui é a propriedade de multiplicação de uma função por constante, usando a definição \varepsilon \delta de limite.

Passo 2

Vamos recordar a definição de \lim_{x\to a}f(x)=L:
Para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta e x\in X, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Queremos uma afirmação análoga para \lambda f(x), ou seja:
para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta, então
\bigl|\lambda\,f(x)-\lambda\,L\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

Observe que
\bigl|\lambda\,f(x)-\lambda\,L\bigr| =|\lambda|\;\bigl|f(x)-L\bigr|.
Então, para controlar \bigl|\lambda\,f(x)-\lambda\,L\bigr|, basta controlar \bigl|f(x)-L\bigr|.
Caso \lambda\neq 0, dado \varepsilon>0 definimos
\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{|\lambda|}.
Como \lim_{x\to a}f(x)=L, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale
|f(x)-L|<\varepsilon'.
Multiplicando essa desigualdade por |\lambda|, obtemos
|\lambda|\;|f(x)-L|<|\lambda|\;\varepsilon' =|\lambda|\;\frac{\varepsilon}{|\lambda|} =\varepsilon.
Portanto, para esse mesmo \delta, sempre que 0<|x-a|<\delta temos
\bigl|\lambda\,f(x)-\lambda\,L\bigr|<\varepsilon,
o que demonstra que \lim_{x\to a}[\lambda f(x)]=\lambda L.

Passo 4

Caso \lambda=0, a função \lambda f(x) é identicamente zero, isto é, \lambda f(x)=0 para todo x. Logo, o limite quando x\to a também vale zero:
\lim_{x\to a}[\lambda f(x)] =\lim_{x\to a}0 =0 =\lambda\,L,
pois \lambda\,L=0\cdot L=0.

Resposta

Ficou então provado que, para toda constante \lambda\in\mathbb{R},
\lim_{x\to a}\bigl[\lambda\,f(x)\bigr]=\lambda\,L.

Exercícios relacionados