Dada f(x)=x^{3}, x \in \mathbb{R}, mostre que \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função f(x)=x^3, com x\in\mathbb{R}, vale
\lim_{x\to1}f(x)=1.
O conteúdo usado será a definição de limite finito via critério ε–δ.

Passo 2

Pela definição de limite, precisamos provar que
\forall \epsilon>0\;\exists \delta>0\;\text{tal que, se }0<|x-1|<\delta,\;\text{então }|x^3-1|<\epsilon.ã

Passo 3

Vamos manipular a diferença entre f(x) e o valor limite:
|x^3-1| = |x-1|\,|x^2 + x + 1|.

Passo 4

Para controlar o fator |x^2 + x + 1|, imponho \delta \le 1.
Se |x-1|<1, então 0<x<2 e
|x^2 + x + 1| \le 2^2 + 2 + 1 = 7.

Passo 5

Com isso, sempre que |x-1|<\delta temos
|x^3-1| < 7\,|x-1|.
Para garantir |x^3-1|<\epsilon, basta escolher
\delta = \min\bigl\{1,\;\tfrac{\epsilon}{7}\bigr\}.

Resposta

Portanto, pela definição ε–δ, concluímos que
\lim_{x\to1}x^3 = 1.

Exercícios relacionados