Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R}, a \in X^{\prime}, com \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M. Prove que
Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0 e g é limitada numa vizinhança de a, tem-se \lim _{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x)]=0.

Passo 1

O enunciado trata do produto de duas funções f e g definidas em X, com a sendo ponto limite de X. Sabemos que \lim_{x\to a}f(x)=0
e que g é limitada numa vizinhança de a, isto é, existe um K>0 tal que \lvert g(x)\rvert\le K sempre que x estiver próximo de a (exceto talvez em a se a\notin X). Queremos mostrar que \lim_{x\to a}\bigl[f(x)\,g(x)\bigr]=0.
Para isso, vamos aplicar diretamente a definição \varepsilon \delta de limite.

Passo 2

Como g é limitada numa vizinhança de a, existe um número real K>0 e um intervalo \delta_1>0 tal que, sempre que
0<\lvert x-a\rvert<\delta_1,
temos
\lvert g(x)\rvert \le K.

Passo 3

Queremos provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<\lvert x-a\rvert<\delta, então \bigl\lvert f(x)\,g(x)\bigr\rvert<\varepsilon.
Como \lim_{x\to a}f(x)=0, existe \delta_2>0 tal que, se
0<\lvert x-a\rvert<\delta_2,
então
\lvert f(x)\rvert < \frac{\varepsilon}{K}.

Passo 4

Definimos \delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}. Assim, sempre que
0<\lvert x-a\rvert<\delta,
temos simultaneamente \lvert g(x)\rvert\le K e \lvert f(x)\rvert<\varepsilon/K. Logo,
\bigl\lvert f(x)\,g(x)\bigr\rvert \;=\;\lvert f(x)\rvert\,\lvert g(x)\rvert \;\le\;\frac{\varepsilon}{K}\,K \;=\;\varepsilon.
Isso mostra, pela definição de limite, que \lim_{x\to a}[f(x)\,g(x)]=0.

Resposta

Fica provado que \lim_{x\to a}[f(x)\,g(x)]=0.

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