Sejam
e
. Se
é limitada e
mostre que
0.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções em
, que
é ponto de acumulação de
, que
é limitada e que
. Queremos mostrar que
. O método será o de
– .
–
Passo 2
Como
é limitada, existe
tal que
para todo
em certa vizinhança pontuada de
.
Se , então
nessa vizinhança e
, logo o limite é
trivialmente.
Caso contrário, .
Se
Caso contrário,
Passo 3
Pela hipótese
, dado
existe
tal que
Passo 4
Para
satisfazendo
temos
Portanto, por definição de limite,
.