Sejam f, g: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e x_{0} \in X^{\prime}. Se f é limitada e \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0 mostre que \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)= 0.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções em X\subset\mathbb{R}, que x_{0} é ponto de acumulação de X, que f é limitada e que \displaystyle \lim_{x\to x_{0}}g(x)=0. Queremos mostrar que \displaystyle \lim_{x\to x_{0}}f(x)\,g(x)=0. O método será o de \varepsilon
\delta.

Passo 2

Como f é limitada, existe M\ge 0 tal que
|f(x)|\le M
para todo x em certa vizinhança pontuada de x_{0}.
Se M=0, então f(x)=0 nessa vizinhança e \,f(x)\,g(x)=0, logo o limite é 0 trivialmente.
Caso contrário, M>0.

Passo 3

Pela hipótese \lim_{x\to x_{0}}g(x)=0, dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<|x-x_{0}|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |g(x)|<\frac{\varepsilon}{M}.

Passo 4

Para x satisfazendo 0<|x-x_{0}|<\delta temos
|f(x)\,g(x)|\le |f(x)|\,|g(x)|\le M\,|g(x)|<M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon.
Portanto, por definição de limite, \displaystyle \lim_{x\to x_{0}}f(x)\,g(x)=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to x_{0}}f(x)\,g(x)=0.

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