Sejam f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua e X \subset A. Mostre que \left.f\right|_{X}: X \rightarrow \mathbb{R}, a restrição de f ao conjunto X, é uma função contínua.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua \displaystyle f\colon A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}
e um subconjunto X\subset A. Queremos mostrar que a restrição \displaystyle f|_{X}\colon X\to\mathbb{R}
é contínua em cada ponto de X. Para isso, vamos usar o critério \varepsilon–\delta de continuidade.
Passo 2
Seja c\in X. Como X\subset A e f é contínua em c (no sentido de A), para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x\in A,