Sejam f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua e X \subset A. Mostre que \left.f\right|_{X}: X \rightarrow \mathbb{R}, a restrição de f ao conjunto X, é uma função contínua.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua
\displaystyle f\colon A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}
e um subconjunto X\subset A. Queremos mostrar que a restrição
\displaystyle f|_{X}\colon X\to\mathbb{R}
é contínua em cada ponto de X. Para isso, vamos usar o critério \varepsilon \delta de continuidade.

Passo 2

Seja c\in X. Como X\subset A e f é contínua em c (no sentido de A), para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x\in A,
|x-c|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f\text{(c)}|<\varepsilon.
Agora, se além de x\in A tivermos x\in X e |x-c|<\delta, então a mesma implicação vale, isto é,
|x-c|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f|_{X}(x)-f|_{X}\text{(c)}\bigr| =|f(x)-f\text{(c)}|<\varepsilon.
Isso mostra que, segundo o critério \varepsilon \delta, f|_{X} é contínua em c.

Passo 3

Como c\in X era um ponto arbitrário de X, concluímos que f|_{X} é contínua em todo X.

Resposta

A restrição \displaystyle f|_{X}\colon X\to\mathbb{R} é contínua.

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