Sejam a, b \in \mathbb{R} com a<b e f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua. Então existem m, M \in \mathbb{R} tais que m \leq f(x) \leq M para todo x \in[a, b].

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma função contínua f em um intervalo fechado e limitado [a,b]. Queremos provar que existem dois números reais m e M tais que, para todo x\in[a,b], vale
m \le f(x)\le M.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Extremo (ou Teorema de Weierstrass), que diz que a imagem de um conjunto compacto (aqui [a,b]) por uma função contínua é também compacta, e em \mathbb{R} isso implica ser limitada e atingir seus extremos.

Passo 2

Primeiro mostramos que f é limitada em [a,b]. Suponha, por absurdo, que f não seja limitada superiormente. Então, para cada n\in\mathbb{N}, existe x_n\in[a,b] com
f(x_n)>n.
Como [a,b] é compacto, a sequência (x_n) tem uma subsequência \bigl(x_{n_k}\bigr) que converge para algum c\in[a,b]. Pela continuidade de f, temos
\lim_{k\to\infty}f\bigl(x_{n_k}\bigr) =f\!\bigl(\lim_{k\to\infty}x_{n_k}\bigr) =f\text{(c)}.
Mas f(x_{n_k})>n_k e n_k\to\infty, o que implica \lim_{k}f(x_{n_k})=+\infty, contradição à igualdade com o finito f\text{(c)}. Logo, f é limitada superiormente. De modo análogo, não há como ser ilimitada inferiormente. Concluímos que existe L>0 tal que
|f(x)|\le L\quad\forall\,x\in[a,b].

Passo 3

Agora definimos
M = \sup\bigl\{f(x)\mid x\in[a,b]\bigr\} \quad\text{e}\quad m = \inf\bigl\{f(x)\mid x\in[a,b]\bigr\}.
Como f é limitada, M e m são reais. Para mostrar que M é atingido, note que, por definição de supremo, existe uma sequência (y_n)\subset[a,b] com
f(y_n)\to M.
De novo, extraímos uma subsequência \bigl(y_{n_k}\bigr) que converge para algum c\in[a,b]. Pela continuidade,
f\text{(c)} =\lim_{k\to\infty}f\bigl(y_{n_k}\bigr) =\lim_{k\to\infty}M =M.
Isso mostra que M é realmente o máximo de f em [a,b]. O argumento para m é idêntico, usando infimo e mostrando que há ponto onde f\text{(c)}=m.

Resposta

Tomando
M=\max_{x\in[a,b]}f(x), \quad m=\min_{x\in[a,b]}f(x),
eles existem e satisfazem
m\le f(x)\le M \quad\forall\,x\in[a,b].

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