Sejam
com
e
uma função contínua. Então existem
tais que
para todo
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma função contínua
em um intervalo fechado e limitado
. Queremos provar que existem dois números reais
e
tais que, para todo
, vale
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Extremo (ou Teorema de Weierstrass), que diz que a imagem de um conjunto compacto (aqui
) por uma função contínua é também compacta, e em
isso implica ser limitada e atingir seus extremos.
Passo 2
Primeiro mostramos que
é limitada em
. Suponha, por absurdo, que
não seja limitada superiormente. Então, para cada
, existe
com
Como
é compacto, a sequência
tem uma subsequência
que converge para algum
. Pela continuidade de
, temos
Mas
e
, o que implica
, contradição à igualdade com o finito
. Logo,
é limitada superiormente. De modo análogo, não há como ser ilimitada inferiormente. Concluímos que existe
tal que
Passo 3
Agora definimos
Como
é limitada,
e
são reais. Para mostrar que
é atingido, note que, por definição de supremo, existe uma sequência
com
De novo, extraímos uma subsequência
que converge para algum
. Pela continuidade,
Isso mostra que
é realmente o máximo de
em
. O argumento para
é idêntico, usando infimo e mostrando que há ponto onde
.
Resposta
Tomando
eles existem e satisfazem