Sejam
uma função e
. Mostre que
Se
então
;
Se
Passo 1
O enunciado trata de pré-imagens de conjuntos sob uma função. Temos
e dois subconjuntos
. Queremos mostrar que, sempre que
então
Aqui vamos usar a definição de pré-imagem:
Passo 2
Assuma que
. Isso significa que, para todo elemento
,
Em particular, se uma imagem
está em
, então ela também está em
.
Passo 3
Para provar a inclusão
, tome um elemento arbitrário
Pela definição de pré-imagem, isso implica
Como
, segue que
Isso, de novo pela definição de pré-imagem, nos dá
Como
foi um elemento qualquer de
, concluímos que todo elemento de
pertence a
.