Sejam f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função e X, Y \subset A. Mostre que
Se X \subseteq Y então f^{-1}(X) \subseteq f^{-1}(Y);

Passo 1

O enunciado trata de pré-imagens de conjuntos sob uma função. Temos f\colon A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} e dois subconjuntos X,Y\subset A. Queremos mostrar que, sempre que
X \subseteq Y,
então
f^{-1}(X)\subseteq f^{-1}(Y).
Aqui vamos usar a definição de pré-imagem:
f^{-1}(S) = \{\,a\in A \mid f(a)\in S\}.

Passo 2

Assuma que X\subseteq Y. Isso significa que, para todo elemento z,
z\in X \quad\Longrightarrow\quad z\in Y.
Em particular, se uma imagem f(a) está em X, então ela também está em Y.

Passo 3

Para provar a inclusão f^{-1}(X)\subseteq f^{-1}(Y), tome um elemento arbitrário
x\in f^{-1}(X).
Pela definição de pré-imagem, isso implica
f(x)\in X.
Como X\subseteq Y, segue que
f(x)\in Y.
Isso, de novo pela definição de pré-imagem, nos dá
x\in f^{-1}(Y).
Como x foi um elemento qualquer de f^{-1}(X), concluímos que todo elemento de f^{-1}(X) pertence a f^{-1}(Y).

Resposta

\boxed{f^{-1}(X)\subseteq f^{-1}(Y).}

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