Sejam
,
,
,
e
.
Simplifique a expressão
.
Obs: Aqui a notação
significa a função inversa de
.
Simplifique a expressão
Passo 1
O enunciado define várias funções e pede para simplificar
. Informações relevantes dadas:
-
. - A inversa
(ou ) está definida para e seu valor principal é um ângulo com .
A tarefa é escrevernuma forma mais simples (em função de ) e indicar as condições necessárias (domínio).
Passo 2
Faço a substituição usual: seja
. Isso significa, por definição de função inversa, que
Queremos
. Lembrando a definição da tangente em termos de seno e cosseno:
Já sabemos
, falta
.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Substituindo
obtemos
Portanto
Agora é preciso escolher o sinal. Como
(o intervalo principal da função
), o cosseno é não negativo nesse intervalo. Logo
Passo 4
Substituindo
e
na expressão da tangente, obtemos a forma simplificada:
Observação sobre domínio: a expressão
exige
, isto é
. Porém, nos extremos
temos
e
é indefinida. Portanto a função simplificada é válida para
Passo 5
Exemplo rápido para fixar: se
, então
e
. Pela fórmula:
confere certinho.