Sejam f_{1}(x)=\operatorname{sen}\left(\operatorname{cossec}^{-1} x\right),
f_{2}(x)=\operatorname{tg}\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right),
f_{3}(x)=\operatorname{cotg}\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right),
f_{4}(x)=\operatorname{sec} \left(\cos ^{-1} x\right) e
f_{5}(x)=\operatorname{tg}\left(\operatorname{sec} ^{-1} x\right).
Simplifique a expressão f_{2}(x).
Obs: Aqui a notação g^{-1}(x) significa a função inversa de g(x).

Passo 1

O enunciado define várias funções e pede para simplificar f_{2}(x)=\operatorname{tg}\big(\operatorname{sen}^{-1} x\big). Informações relevantes dadas:
  • f_{2}(x)=\tan(\arcsin x).
  • A inversa \arcsin x (ou \operatorname{sen}^{-1}x) está definida para x\in[-1,1] e seu valor principal é um ângulo \theta com \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
    A tarefa é escrever \tan(\arcsin x) numa forma mais simples (em função de x) e indicar as condições necessárias (domínio).

Passo 2

Faço a substituição usual: seja \theta=\arcsin x. Isso significa, por definição de função inversa, que
\sin\theta = x \qquad\text{e}\qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Queremos \tan(\arcsin x)=\tan\theta. Lembrando a definição da tangente em termos de seno e cosseno:
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Já sabemos \sin\theta=x, falta \cos\theta.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. Substituindo \sin\theta=x obtemos
\cos^{2}\theta = 1-\sin^{2}\theta = 1-x^{2}.
Portanto
\cos\theta = \pm\sqrt{1-x^{2}}.
Agora é preciso escolher o sinal. Como \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] (o intervalo principal da função \arcsin), o cosseno é não negativo nesse intervalo. Logo
\cos\theta = \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 4

Substituindo \sin\theta=x e \cos\theta=\sqrt{1-x^{2}} na expressão da tangente, obtemos a forma simplificada:
\tan(\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Observação sobre domínio: a expressão \sqrt{1-x^{2}} exige 1-x^{2}\ge 0, isto é x\in[-1,1]. Porém, nos extremos x=\pm1 temos \sqrt{1-x^{2}}=0 e \tan(\arcsin(\pm1))=\tan(\pm\tfrac{\pi}{2}) é indefinida. Portanto a função simplificada é válida para
x\in(-1,1).

Passo 5

Exemplo rápido para fixar: se x=\tfrac{1}{2}, então \arcsin(\tfrac{1}{2})=\tfrac{\pi}{6} e \tan(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{1}{\sqrt{3}}. Pela fórmula:
\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\sqrt{1-\tfrac{1}{4}}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\sqrt{\tfrac{3}{4}}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}},
confere certinho.

Resposta

\displaystyle f_{2}(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}
\displaystyle \text{domínio: }x\in(-1,1)í

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