Sejam f(x)=|x-1| e g(x)=x^{2}+2 x. Determine (f \circ g)(x) e analise sua continuidade.

Passo 1

O enunciado nos dá as duas funções
f(x)=|x-1| \qquad\text{e}\qquad g(x)=x^{2}+2x.
Pede duas coisas:
  1. Determinar (f\circ g)(x), ou seja, f(g(x)).
  2. Analisar a continuidade dessa função (dizer onde ela é contínua).
Informações relevantes fornecidas:
  • f é o valor absoluto deslocado: f(u)=|u-1| (aqui, ao compor, u=g(x)).
  • g é um polinômio quadrático g(x)=x^{2}+2x.
  • Não há restrições de domínio explícitas, logo trabalhamos com x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro escrevemos a composição substituindo g(x) dentro de f:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=\bigl|\,g(x)-1\,\bigr|.
Substituindo g(x)=x^{2}+2x no interior do módulo:
(f\circ g)(x)=\bigl|\,x^{2}+2x-1\,\bigr|.

Passo 3

Para reescrever o valor absoluto em forma “sem módulo” usamos a definição:
|u|=\begin{cases} u, & u\ge 0,\\[4pt] -u, & u<0. \end{cases}
Aqui u=x^{2}+2x-1. Precisamos, portanto, saber para que x temos x^{2}+2x-1\ge 0 e para que x^{2}+2x-1<0. Isso se reduz a resolver a equação quadrática associada e fazer um estudo de sinal.]

Passo 4

Calculamos as raízes de x^{2}+2x-1=0\). O discriminante é \[\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=4+4=8.
As raízes são
x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}.
Chamando x_{1}=-1-\sqrt{2} e x_{2}=-1+\sqrt{2}, temos uma parábola com coeficiente líder positivo (coeficiente de x^{2} é 1>0). Logo a expressão x^{2}+2x-1 é
  • positiva ou zero para x\le x_{1} e para x\ge x_{2},
  • negativa para x_{1}<x<x_{2}.
Aplicando isso à definição do módulo, obtemos a forma peça a peça de (f\circ g)(x):
(f\circ g)(x)=\begin{cases} x^{2}+2x-1, & x\le -1-\sqrt{2}\\ \text{ou}\\ x\ge -1+\sqrt{2},\\[6pt] -(x^{2}+2x-1)=-x^{2}-2x+1, & -1-\sqrt{2}<x< -1+\sqrt{2}. \end{cases}
Observe que nas duas raízes x=x_{1}\] e \(x=x_{2} o valor é zero, pois x^{2}+2x-1=0 nesses pontos.]

Passo 5

Agora a análise da continuidade. Algumas ideias úteis e verdadeiras que vamos usar:
  • Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}.
  • A função valor absoluto é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A composição de funções contínuas é contínua.
Argumento direto e concreto: cada ramo da expressão peça a peça é um polinômio (ou seja, x^{2}+2x-1 e -x^{2}-2x+1), logo contínuo em qualquer ponto. Os únicos pontos que merecem atenção são os pontos de fronteira entre os ramos, isto é x=x_{1}=-1-\sqrt{2} e x=x_{2}=-1+\sqrt{2}. Verificamos os limites laterais nesses pontos:
Para x\to x_{1}^{-} e x\to x_{1}^{+}:
  • Se x\le x_{1} usamos x^{2}+2x-1, e x^{2}+2x-1 em x_{1} vale 0 (porque é raiz).
  • Se x> x_{1} e próximo, usamos -x^{2}-2x+1, e em x_{1} isso também dá -0=0.
    Então os limites esquerdo e direito em x_{1} coincidem e valem 0, que é o valor da função em x_{1}.
Mesma verificação em x_{2}: ambos os ramos avaliam para 0 em x_{2}, então os limites laterais coincidem e valem 0, igual ao valor da função no ponto.
Portanto não há salto ou descontinuidade em x_{1} nem em x_{2}. Como em todos os outros pontos a função é dada por polinômios (contínuos), concluímos que (f\circ g)(x) é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=\begin{cases} x^{2}+2x-1, & x\le -1-\sqrt{2}\\ \text{ou}\\ x\ge -1+\sqrt{2},\\[6pt] -x^{2}-2x+1, & -1-\sqrt{2}<x< -1+\sqrt{2}, \end{cases}
Contínua em \mathbb{R}.]

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