Dadas as funções f(x)=\frac{1}{x} e g(x)=x+2, determine:
(a) (f \circ g)(x)
(b) O domínio de (f \circ g).

Passo 1

O enunciado fornece as duas funções:
  • f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • g(x)=x+2.
O que é pedido:
(a) Calcular (f\circ g)(x), isto é, a composição de f com g.
(b) Determinar o domínio de (f\circ g).
Informações relevantes dadas (explicitamente ou implícitas):
  • A função f(x)=\dfrac{1}{x} não está definida em x=0 (logo seu domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\}).
  • A função g(x)=x+2 é polinomial do 1º grau, portanto está definida para todos os reais (domínio \mathbb{R}).

Passo 2

O que significa (f\circ g)(x) e como calcular:
  • Por definição, (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
  • Isso quer dizer: primeiro calcula-se g(x), depois aplica-se f ao resultado.
  • Em termos de fórmula, se f(t)=\dfrac{1}{t} para uma variável intermediária t, então f\big(g(x)\big)=\dfrac{1}{g(x)}.
    (Explicando as variáveis: x é a entrada inicial; g(x) é o valor intermediário; f(\cdot) recebe esse valor intermediário.)

Passo 3

Calcular algebricamente a composição:
  • Primeiro escrevo g(x): g(x)=x+2.
  • Substituo g(x) na fórmula de f:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{x+2}.
  • Portanto a expressão simplificada da composição é \dfrac{1}{x+2}.

Passo 4

Como determinar o domínio de uma composição: regra geral
  • O domínio de f\circ g é o conjunto de todos os x que pertencem ao domínio de g e tais que g(x) pertence ao domínio de f.
  • Em símbolos: \operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.

Passo 5

Aplicando a regra ao caso concreto:
  • Sabemos que \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}.
  • Sabemos que \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Então precisamos de x\in\mathbb{R} tais que g(x)\neq 0. Ou seja,
g(x)=x+2\neq 0.
  • Resolve-se x+2\neq 0 dando x\neq -2.
  • Conclusão: \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}. Em notação de intervalos:
\operatorname{dom}(f\circ g)=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty).

Passo 6

Dois exemplos rápidos para fixar:
  • Se x=1, então (f\circ g)(1)=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3} — válido porque 1\neq -2.
  • Se x=-2, então g(-2)=-2+2=0 e f(0) não existe, logo x=-2 não pertence ao domínio da composição.

Resposta

(a) (f\circ g)(x)=\dfrac{1}{x+2}
(b) \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty)

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