Dadas as funções
e
, determine:
(a)
(b) O domínio de
.
(a)
(b) O domínio de
Passo 1
O enunciado fornece as duas funções:
-
. -
.
O que é pedido:
(a) Calcular , isto é, a composição de
com
.
(b) Determinar o domínio de .
(a) Calcular
(b) Determinar o domínio de
Informações relevantes dadas (explicitamente ou implícitas):
- A função
não está definida em (logo seu domínio é ). - A função
é polinomial do 1º grau, portanto está definida para todos os reais (domínio ).
Passo 2
O que significa
e como calcular:
- Por definição,
. - Isso quer dizer: primeiro calcula-se
, depois aplica-se ao resultado. - Em termos de fórmula, se
para uma variável intermediária , então .
(Explicando as variáveis:é a entrada inicial; é o valor intermediário; recebe esse valor intermediário.)
Passo 3
Calcular algebricamente a composição:
- Primeiro escrevo
: . - Substituo
na fórmula de :
- Portanto a expressão simplificada da composição é
.
Passo 4
Como determinar o domínio de uma composição: regra geral
- O domínio de
é o conjunto de todos os que pertencem ao domínio de e tais que pertence ao domínio de . - Em símbolos:
.
Passo 5
Aplicando a regra ao caso concreto:
- Sabemos que
. - Sabemos que
. - Então precisamos de
tais que . Ou seja,
- Resolve-se
dando . - Conclusão:
. Em notação de intervalos:
Passo 6
Dois exemplos rápidos para fixar:
- Se
, então — válido porque . - Se
, então e não existe, logo não pertence ao domínio da composição.
Resposta
(a)
(b)
(b)