Dadas as funções
e
, determine:
(a)
(b) O domínio de
.
(a)
(b) O domínio de
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas. Os dados são:
-
. -
.
As perguntas são:
(a) Determinar .
(b) Determinar o domínio de .
(a) Determinar
(b) Determinar o domínio de
Passo 2
Primeiro lembrete útil (curtinho e prático): a composição
significa aplicar
em
e depois aplicar
no resultado. Em símbolos:
Então para achar
basta substituir
no lugar de
na expressão de
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição passo a passo:
Agora substituo
:
Faço a subtração
:
Posso fatorar
como
, o que às vezes deixa a forma mais clara:
Passo 4
Agora o domínio. Regras claras e simples:
- O domínio de
é (qualquer número real serve para ). - O domínio de
é , porque tem denominador e não podemos ter .
Para que
esteja definido precisamos que
esteja no domínio de
e que
esteja no domínio de
. Ou seja, precisamos que
Resolver
:
Portanto todos os reais servem exceto
. Isso bate também com a forma simplificada
: o denominador não pode ser zero, logo
.
Passo 5
Resumo final e dica rápida: a composição deu uma função racional com polo em
. Na prova, para composições de racionais, sempre verifique se a imagem pela função interna cai no ponto proibido da função externa — aqui foi exatamente isso:
acontece só em
, então é o ponto que precisa ser excluído do domínio.
Resposta
(a)
(b)
(b)