Dadas as funções f(x)=\frac{1}{x-3} e g(x)=2 x+1, determine:
(a) (f \circ g)(x)
(b) O domínio de (f \circ g).

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas. Os dados são:
  • f(x)=\dfrac{1}{x-3}.
  • g(x)=2x+1.
As perguntas são:
(a) Determinar (f\circ g)(x).
(b) Determinar o domínio de (f\circ g).

Passo 2

Primeiro lembrete útil (curtinho e prático): a composição (f\circ g)(x) significa aplicar g em x e depois aplicar f no resultado. Em símbolos:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Então para achar (f\circ g)(x) basta substituir g(x) no lugar de x na expressão de f.

Passo 3

Vamos fazer a substituição passo a passo:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=\frac{1}{\,g(x)-3\,}.
Agora substituo g(x)=2x+1:
(f\circ g)(x)=\frac{1}{\,2x+1-3\,}.
Faço a subtração 1-3=-2:
(f\circ g)(x)=\frac{1}{\,2x-2\,}.
Posso fatorar 2x-2 como 2(x-1), o que às vezes deixa a forma mais clara:
(f\circ g)(x)=\frac{1}{\,2(x-1)\,}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}.

Passo 4

Agora o domínio. Regras claras e simples:
  • O domínio de g é \mathbb{R} (qualquer número real serve para 2x+1).
  • O domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{3\}, porque f tem denominador x-3 e não podemos ter x=3.
Para que f(g(x)) esteja definido precisamos que x esteja no domínio de g e que g(x) esteja no domínio de f. Ou seja, precisamos que
g(x)\neq 3.
Resolver g(x)\neq 3:
2x+1\neq 3 \quad\Rightarrow\quad 2x\neq 2 \quad\Rightarrow\quad x\neq 1.
Portanto todos os reais servem exceto x=1. Isso bate também com a forma simplificada \dfrac{1}{2(x-1)}: o denominador não pode ser zero, logo x\neq 1.

Passo 5

Resumo final e dica rápida: a composição deu uma função racional com polo em x=1. Na prova, para composições de racionais, sempre verifique se a imagem pela função interna cai no ponto proibido da função externa — aqui foi exatamente isso: g(x)=3 acontece só em x=1, então é o ponto que precisa ser excluído do domínio.

Resposta

(a) (f\circ g)(x)=\dfrac{1}{2(x-1)}
(b) \mathrm{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{1\}

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