Sejam f(x)=|x| e g(x)=x^{2}-4 x+1. Calcule f(g(x)) e discuta seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá as funções f(x)=|x| e g(x)=x^{2}-4x+1, e pede a composição f(g(x)) e uma discussão do gráfico.
Para resolver, vamos usar o conceito de função composta e as propriedades do valor absoluto: quando g(x) é negativo, f(g(x))=-g(x); quando g(x) é não-negativo, f(g(x))=g(x).
Passo 2
A definição da composição é
f(g(x)) = |\,g(x)\,| = \bigl|x^{2}-4x+1\bigr|.
Passo 3
Precisamos saber onde g(x) muda de sinal, isto é, resolver
Logo, g(x)\ge0 para x \le 2-\sqrt{3} ou x \ge 2+\sqrt{3}, e g(x)<0 para 2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}.
Passo 4
Com isso, escrevemos f(g(x))\) em forma de função peça-a-peça:
\[f(g(x))= \begin{cases} x^{2}-4x+1, & x \le 2-\sqrt{3},\\[6pt] -\bigl(x^{2}-4x+1\bigr), & 2-\sqrt{3}\le x\le 2+\sqrt{3},\\[6pt] x^{2}-4x+1, & x \ge 2+\sqrt{3}. \end{cases}
Note que nos pontos (x=2\pm\sqrt{3}] a função vale zero e não há descontinuidade, mas há “canto” (não é derivável ali).]
Passo 5
Analisando o gráfico:
Para x\le2-\sqrt{3} e x\ge2+\sqrt{3}, é a parábola y=x^{2}-4x+1, que abre para cima com vértice em (2,-3).
No trecho entre 2-\sqrt{3} e 2+\sqrt{3}, a parte da parábola que ficaria abaixo do eixo x é refletida para cima, dando a curva y=-(x^{2}-4x+1).
Os pontos x=2\pm\sqrt{3} são zeros da composição e marcam os cantos onde a função troca de ramo.
O gráfico é contínuo, simétrico em relação à reta x=2, e apresenta “V” invertido em cima da parte que originalmente estava abaixo do eixo.