Sejam f(x)=|x| e g(x)=x^{2}-4 x+1. Calcule f(g(x)) e discuta seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=|x| e g(x)=x^{2}-4x+1, e pede a composição f(g(x)) e uma discussão do gráfico.
Para resolver, vamos usar o conceito de função composta e as propriedades do valor absoluto: quando g(x) é negativo, f(g(x))=-g(x); quando g(x) é não-negativo, f(g(x))=g(x).

Passo 2

A definição da composição é
f(g(x)) = |\,g(x)\,| = \bigl|x^{2}-4x+1\bigr|.

Passo 3

Precisamos saber onde g(x) muda de sinal, isto é, resolver
x^{2}-4x+1=0.
Usando a fórmula de Bhaskara, temos
x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4\cdot1\cdot1}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.
Logo, g(x)\ge0 para x \le 2-\sqrt{3} ou x \ge 2+\sqrt{3}, e g(x)<0 para 2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}.

Passo 4

Com isso, escrevemos f(g(x))\) em forma de função peça-a-peça: \[f(g(x))= \begin{cases} x^{2}-4x+1, & x \le 2-\sqrt{3},\\[6pt] -\bigl(x^{2}-4x+1\bigr), & 2-\sqrt{3}\le x\le 2+\sqrt{3},\\[6pt] x^{2}-4x+1, & x \ge 2+\sqrt{3}. \end{cases}
Note que nos pontos (x=2\pm\sqrt{3}] a função vale zero e não há descontinuidade, mas há “canto” (não é derivável ali).]

Passo 5

Analisando o gráfico:
  • Para x\le2-\sqrt{3} e x\ge2+\sqrt{3}, é a parábola y=x^{2}-4x+1, que abre para cima com vértice em (2,-3).
  • No trecho entre 2-\sqrt{3} e 2+\sqrt{3}, a parte da parábola que ficaria abaixo do eixo x é refletida para cima, dando a curva y=-(x^{2}-4x+1).
  • Os pontos x=2\pm\sqrt{3} são zeros da composição e marcam os cantos onde a função troca de ramo.
  • O gráfico é contínuo, simétrico em relação à reta x=2, e apresenta “V” invertido em cima da parte que originalmente estava abaixo do eixo.

Resposta

f(g(x)) = \bigl|x^{2}-4x+1\bigr| = \begin{cases} x^{2}-4x+1, & x \le 2-\sqrt{3},\\[4pt] -(x^{2}-4x+1), & 2-\sqrt{3}\le x\le 2+\sqrt{3},\\[4pt] x^{2}-4x+1, & x \ge 2+\sqrt{3}. \end{cases}
O gráfico é a parábola x^{2}-4x+1 com o trecho que ficaria abaixo do eixo x refletido para cima, apresentando cantos em x=2\pm\sqrt{3}.]

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