No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{n}-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \bigl(\sqrt[n]{n}-1\bigr)^{n}.
Aqui o conteúdo principal são séries numéricas e vamos usar o teste da raiz para determinar convergência absoluta.

Passo 2

Denotemos
a_{n} = \bigl(\sqrt[n]{n}-1\bigr)^{n}.
Pelo teste da raiz, calculamos
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl(\sqrt[n]{n}-1\bigr)^{n}} = \lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt[n]{n}-1\bigr).

Passo 3

Para achar \lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{n}-1), usamos a expansão
n^{1/n} = e^{\frac{\ln n}{n}} = 1 + \frac{\ln n}{n} + o\!\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr),
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\lim_{n\to\infty}\bigl(n^{1/n}-1\bigr) = 0.
Portanto L = 0.

Passo 4

Como L=0<1, o teste da raiz garante que \sum a_{n} converge absolutamente, e assim converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{n}-1)^{n} converge.

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