Esboce o gráfico de f(x)=\left|x^{2}-4\right|. Identifique o domínio e a imagem da função.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f(x)=\bigl|x^{2}-4\bigr| e a identificação do domínio e da imagem. O conteúdo principal envolve a definição de valor absoluto e o estudo de uma função quadrática por partes.

Passo 2

Para remover o valor absoluto, analisamos o sinal de x^{2}-4. Temos:
\begin{cases} x^{2}-4 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\ge 2,\\[6pt] x^{2}-4 < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<2. \end{cases}
Logo,
f(x)=\bigl|x^{2}-4\bigr|= \begin{cases} x^{2}-4, & |x|\ge 2,\\\\ 4 - x^{2}, & |x|<2. \end{cases}]

Passo 3

O domínio de f é todo valor real, pois não há nenhuma restrição em polinômios ou no valor absoluto.
Domínio: (-\infty,\infty).

Passo 4

Esboço do gráfico:
  • Para |x|<2, f(x)=4 - x^{2} é uma parábola invertida com vértice em (0,4) que atinge valor f(\pm2)=4-4=0.
  • Para |x|\ge2, f(x)=x^{2}-4 é uma parábola normal, deslocada para baixo de 4, cujos pontos de transição são (\pm2,0) e, à medida que |x|\to\infty, f(x)\to+\infty.
    O gráfico fica contínuo em x=\pm2, formando um “W” suave: entre -2 e 2 uma parábola invertida, depois duas parábolas abertas para cima.

Passo 5

A imagem de f é o conjunto de todos os valores que f(x) assume. Observamos que o valor mínimo é 0 (em x=\pm2) e não há teto superior f(x)\to+\infty quando |x|\to\infty.
Imagem: [0,\infty).

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: [0,\infty)

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