Sejam f: X \rightarrow Y uma aplicação e A \subseteq X, sabemos que f(A)=\{y \in Y ; y=f(a), para algum a \in A\}. Para A, A_{1}, A_{2} \subseteq X e B \subseteq Y, mostre que:
f\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=f\left(A_{1}\right) \cup f\left(A_{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade entre dois conjuntos: f\left(A_{1} \cup A_{2}\right) e f\left(A_{1}\right) \cup f\left(A_{2}\right). As informações dadas são:
  • f: X \to Y é uma função qualquer (não é preciso supor injetividade ou sobrejetividade).
  • A_1, A_2 \subseteq X são subconjuntos de X.
  • A imagem de um conjunto A\subseteq X é definida por f(A)=\{\,y\in Y \mid y=f(a)\text{ para algum }a\in A\,\}.
O que é pedido: provar que
f\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=f\left(A_{1}\right)\cup f\left(A_{2}\right).

Passo 2

Estratégia de prova (explicando o método): para provar igualdade entre conjuntos normalmente usamos o método da dupla inclusão. Ou seja, mostramos duas inclusões:
f\left(A_{1} \cup A_{2}\right)\subseteq f\left(A_{1}\right)\cup f\left(A_{2}\right)
e
f\left(A_{1}\right)\cup f\left(A_{2}\right)\subseteq f\left(A_{1}\cup A_{2}\right).
Se ambas ocorrerem, então os conjuntos são iguais. Vou fazer cada inclusão seguindo a definição de imagem (prova por “elemento genérico”).

Passo 3

Prova da primeira inclusão f\left(A_{1} \cup A_{2}\right)\subseteq f\left(A_{1}\right)\cup f\left(A_{2}\right).
Pegue um elemento arbitrário y\in f\left(A_{1}\cup A_{2}\right). Pela definição de imagem, isso significa que existe algum a\in A_{1}\cup A_{2} tal que y=f(a). Pelo fato de a\in A_{1}\cup A_{2}, vale que a\in A_{1} ou a\in A_{2}. Se a\in A_{1} então y=f(a)\in f(A_{1}). Se a\in A_{2} então y=f(a)\in f(A_{2}). Em qualquer caso, y\in f(A_{1}) ou y\in f(A_{2}), i.e. y\in f(A_{1})\cup f(A_{2}).
Como a escolha de y foi arbitrária, concluímos que
f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\subseteq f(A_{1})\cup f(A_{2}).

Passo 4

Prova da segunda inclusão f(A_{1})\cup f(A_{2})\subseteq f\left(A_{1}\cup A_{2}\right).
Pegue um elemento arbitrário y\in f(A_{1})\cup f(A_{2}). Então y\in f(A_{1}) ou y\in f(A_{2}).
  • Se y\in f(A_{1}), então, pela definição de imagem, existe a\in A_{1} tal que y=f(a). Mas A_{1}\subseteq A_{1}\cup A_{2}, logo a\in A_{1}\cup A_{2}. Portanto y=f(a)\in f(A_{1}\cup A_{2}).
  • Se y\in f(A_{2}), raciocínio análogo: existe a\in A_{2} com y=f(a). Como A_{2}\subseteq A_{1}\cup A_{2}, segue a\in A_{1}\cup A_{2} e assim y\in f(A_{1}\cup A_{2}).
Em ambos os casos temos y\in f(A_{1}\cup A_{2}). Como y foi escolhido arbitrariamente, concluímos
f(A_{1})\cup f(A_{2})\subseteq f(A_{1}\cup A_{2}).

Passo 5

Conclusão: juntando as duas inclusões das etapas anteriores obtemos
f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).
Isso completa a prova. (Esse tipo de prova por dupla inclusão é padrão quando se quer mostrar que dois conjuntos coincidam.)

Passo 6

Intuição e comentário final (para ajudar na prova em prova/contagem): pensar em f(A) como a coleção de imagens dos pontos de A. Se você toma todos os pontos em A_{1} e em A_{2} (ou seja, A_{1}\cup A_{2}) e aplica f, vai obter exatamente as imagens que já vinham de A_{1} mais as imagens que vinham de A_{2}; nada a mais e nada a menos. Um pequeno cuidado: a imagem distribui sobre união (como acabamos de mostrar), mas em geral não distribui sobre interseção (isto é, pode ser que f(A_1\cap A_2)\neq f(A_1)\cap f(A_2) sem hipóteses extras sobre f) — é um ponto útil para lembrar.

Resposta

f\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=f\left(A_{1}\right)\cup f\left(A_{2}\right)

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