Sejam
uma aplicação e
, sabemos que
, para algum
. Para
e
, mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade entre dois conjuntos:
e
. As informações dadas são:
-
é uma função qualquer (não é preciso supor injetividade ou sobrejetividade). -
são subconjuntos de . - A imagem de um conjunto
é definida por .
O que é pedido: provar que
Passo 2
Estratégia de prova (explicando o método): para provar igualdade entre conjuntos normalmente usamos o método da dupla inclusão. Ou seja, mostramos duas inclusões:
e
Se ambas ocorrerem, então os conjuntos são iguais. Vou fazer cada inclusão seguindo a definição de imagem (prova por “elemento genérico”).
Passo 3
Prova da primeira inclusão
.
Pegue um elemento arbitrário
. Pela definição de imagem, isso significa que existe algum
tal que
. Pelo fato de
, vale que
ou
. Se
então
. Se
então
. Em qualquer caso,
ou
, i.e.
.
Como a escolha de
foi arbitrária, concluímos que
Passo 4
Prova da segunda inclusão
.
Pegue um elemento arbitrário
. Então
ou
.
-
Se
, então, pela definição de imagem, existe tal que . Mas , logo . Portanto . -
Se
, raciocínio análogo: existe com . Como , segue e assim .
Em ambos os casos temos
. Como
foi escolhido arbitrariamente, concluímos
Passo 5
Conclusão: juntando as duas inclusões das etapas anteriores obtemos
Isso completa a prova. (Esse tipo de prova por dupla inclusão é padrão quando se quer mostrar que dois conjuntos coincidam.)
Passo 6
Intuição e comentário final (para ajudar na prova em prova/contagem): pensar em
como a coleção de imagens dos pontos de
. Se você toma todos os pontos em
e em
(ou seja,
) e aplica
, vai obter exatamente as imagens que já vinham de
mais as imagens que vinham de
; nada a mais e nada a menos. Um pequeno cuidado: a imagem distribui sobre união (como acabamos de mostrar), mas em geral não distribui sobre interseção (isto é, pode ser que
sem hipóteses extras sobre
) — é um ponto útil para lembrar.