Questão 04. a) (1.5 pontos) Encontre a solução geral da EDO de segunda ordem
( 1,0 ponto) encontre o Wronskiano de duas soluções da EDO
, explicitando se estas soluções serão linearmente independentes ou não.
a) Solução da EDO homogênea
Solução particular usando o método de coeficientes indeterminados
b) Reescrevendo a EDO:
Como a função
, as duas soluções serão linearmente independentes
a) Solução da EDO homogênea
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
- (a) Encontrar a solução geral da EDO de segunda ordem não-homogênea
Informações dadas importantes: coeficientes constantes, termo fonte
.
- (b) Calcular o Wronskiano de duas soluções da EDO
e explicitar se essas soluções serão linearmente independentes ou não. Observação: a equação é homogênea; podemos dividi-la por
para colocá-la na forma padrão
.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Resolver a homogênea associada ao item (a). Primeiro escrevemos a equação homogênea
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática:
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Método de coeficientes indeterminados para a particular de (a). O termo do lado direito é
: isto é um exponencial
multiplicado por um polinômio de grau 1. Como
NÃO é raiz da equação característica (as raízes foram
e
), não precisamos multiplicar por potência de
. Portanto assumimos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Vou agora calcular
e
.
Passo 4
Calcular derivadas de
. Usando a regra do produto:
Derivando:
Fatorando
:
Derivando novamente:
Simplificando os termos constantes:
logo
Passo 5
Substituir
Agora simplificar o polinômio entre colchetes. Primeiro os termos em
:
Agora os termos constantes:
Portanto
Esse deve ser igual a
. Igualando coeficientes do polinômio em
(pois
cancela):
Da primeira equação vem (A=\tfrac{1}{2}]. Substituindo na segunda:
]
Passo 6
Escrever a solução particular encontrada e a solução geral da equação do item (a). Com
e
,
A solução geral da não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Passo 7
Agora o item (b). Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(válido porque
):
Assim, na forma
temos
.
Passo 8
Usar a fórmula de Abel para o Wronskiano. A fórmula de Abel diz que, para duas soluções
de uma equação linear homogênea de segunda ordem na forma padrão, o Wronskiano satisfaz
onde
é o coeficiente de
. Aqui
, e
. Logo
Definindo a constante
obtemos a forma mais simples
onde
é uma constante (dependente da escolha das soluções iniciais).
Passo 9
Interpretando a independência linear a partir do Wronskiano. A função
nunca é zero (é sempre positiva), portanto o Wronskiano só pode ser identicamente zero se
. Para duas soluções que formam um par linearmente independente (isto é, uma base de soluções), tem-se
e então
para todo
, o que garante independência linear. Se alguém escolher duas soluções proporcionais entre si (linha dependente), então
e o Wronskiano é identicamente zero. Assim, para um par de soluções fundamentais (não-proporcionais) o Wronskiano é
com
, logo não nulo e as soluções são linearmente independentes.
Resposta
(a)
(b)
. Como
, para
o Wronskiano é não nulo e as duas soluções são linearmente independentes (se
as soluções seriam linearmente dependentes).