Verifique h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f, se f(x)=x^{2}-1, g(x)=3 x+5 e h(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f dadas as funções:
  • f(x)=x^{2}-1,
  • g(x)=3x+5,
  • h(x)=\sqrt{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As fórmulas de f, g e h estão explícitas.
  • É preciso compor essas funções em ambas as ordens e verificar que os resultados coincidem (incluindo domínios onde necessário).

Passo 2

Lembrete sobre composição: a composição g\circ f é a função definida por
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big),
ou seja, primeiro aplica-se f em x e depois aplica-se g ao resultado. Vamos aplicar essa definição passo a passo.

Passo 3

Calcular g\circ f. Substituir f(x)=x^{2}-1 em g:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g\big(x^{2}-1\big)=3\big(x^{2}-1\big)+5.
Agora simplificar:
3\big(x^{2}-1\big)+5=3x^{2}-3+5=3x^{2}+2.
Logo,
(g\circ f)(x)=3x^{2}+2.

Passo 4

Calcular h\circ(g\circ f). Pela definição de composição,
\big(h\circ(g\circ f)\big)(x)=h\big((g\circ f)(x)\big).
Usando o resultado do passo anterior:
\big(h\circ(g\circ f)\big)(x)=h\big(3x^{2}+2\big)=\sqrt{\,3x^{2}+2\,}.

Passo 5

Agora calcular h\circ g e em seguida (h\circ g)\circ f.
Primeiro, h\circ g é
(h\circ g)(x)=h\big(g(x)\big)=h\big(3x+5\big)=\sqrt{\,3x+5\,}.
Em seguida, compor com f:
\big((h\circ g)\circ f\big)(x)=(h\circ g)\big(f(x)\big)=\sqrt{\,3\big(f(x)\big)+5\,}.
Substituindo f(x)=x^{2}-1 e simplificando:
\sqrt{\,3\big(x^{2}-1\big)+5\,}=\sqrt{\,3x^{2}-3+5\,}=\sqrt{\,3x^{2}+2\,}.

Passo 6

Comparação dos resultados: observamos que
\big(h\circ(g\circ f)\big)(x)=\sqrt{\,3x^{2}+2\,} \qquad\text{e}\qquad \big((h\circ g)\circ f\big)(x)=\sqrt{\,3x^{2}+2\,},
ou seja, as expressões são idênticas ponto a ponto.

Passo 7

Verificação de domínio (importante quando aparece raiz quadrada): a função h(x)=\sqrt{x} exige argumento não negativo. Para h\circ(g\circ f) precisamos de
3x^{2}+2\ge 0.
Como 3x^{2}\ge 0 para todo x, tem-se 3x^{2}+2\ge 2>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto ambas as composições estão definidas para todo x\in\mathbb{R} e têm o mesmo domínio \mathbb{R}.

Resposta

h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f=\sqrt{3x^{2}+2}
Domínio: \mathbb{R}

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