Sejam f: X \rightarrow Y uma função, A \subset X e V \subset Y. Mostre que vale: A \subset f^{-1}(f(A)) e f\left(f^{-1}(V)\right)=V \cap f(X)\left(\operatorname{logo}, f\left(f^{-1}(V)\right) \subset V\right).

Passo 1

O enunciado pede para provar duas propriedades de imagem e contra-imagem de uma função f\colon X\to Y:
  1. \,A\subset f^{-1}\bigl(f(A)\bigr) para todo A\subset X.
  2. \,f\bigl(f^{-1}(V)\bigr)=V\cap f(X) para todo V\subset Y, o que implica f\bigl(f^{-1}(V)\bigr)\subset V.
    Vamos usar as definições:
f(A)=\{\,y\in Y\mid \exists x\in A,\;f(x)=y\},
f^{-1}(V)=\{\,x\in X\mid f(x)\in V\}.

Passo 2

Provar \,A\subset f^{-1}\bigl(f(A)\bigr).
Seja x\in A. Então f(x)\in f(A) por definição de imagem. Daí x\in f^{-1}\bigl(f(A)\bigr) pois f(x) está no conjunto de chegada. Concluímos
x\in A\implies x\in f^{-1}\bigl(f(A)\bigr),
logo A\subset f^{-1}\bigl(f(A)\bigr).

Passo 3

Provar \,f\bigl(f^{-1}(V)\bigr)\subset V\cap f(X).
Seja y\in f\bigl(f^{-1}(V)\bigr). Então existe x\in f^{-1}(V) tal que y=f(x).
Como x\in f^{-1}(V), tem f(x)\in V, isto é y\in V.
Além disso, y=f(x) mostra que y\in f(X).
Portanto y\in V\cap f(X) e obtemos
f\bigl(f^{-1}(V)\bigr)\subset V\cap f(X).

Passo 4

Provar \,V\cap f(X)\subset f\bigl(f^{-1}(V)\bigr).
Seja y\in V\cap f(X). Então y\in V e y=f(x) para algum x\in X.
Como y=f(x)\in V, segue x\in f^{-1}(V).
Logo y=f(x)\in f\bigl(f^{-1}(V)\bigr).
Assim
V\cap f(X)\subset f\bigl(f^{-1}(V)\bigr).
Combinando com o Passo 3, concluímos
f\bigl(f^{-1}(V)\bigr)=V\cap f(X).

Resposta

A\subset f^{-1}\bigl(f(A)\bigr),
f\bigl(f^{-1}(V)\bigr)=V\cap f(X) \quad\text{e, portanto}\quad f\bigl(f^{-1}(V)\bigr)\subset V.

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