Verifique se cada uma das seguintes relações são de equivalência.
.
Passo 1
O enunciado define a relação
Queremos verificar se
é uma relação de equivalência, ou seja, se é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
Verificação da reflexividade.
Para todo , temos
Para todo
por comutatividade da soma em
. Logo
e
é reflexiva.
Passo 3
Verificação da simetria.
Suponha . Então
Suponha
Pela comutatividade, isso implica
ou seja
Portanto
é simétrica.
Passo 4
Verificação da transitividade.
Suponha e
. Então
Suponha
Somando as duas igualdades:
Reagrupando e cancelando
em ambos os lados (válido em
), obtemos
isto é
Logo
é transitiva.
Resposta
A relação
é de equivalência.