Verifique se cada uma das seguintes relações são de equivalência.
T=\left\{((a, b),(c, d)) \in \mathbb{Z}^{2} \times \mathbb{Z}^{2}: a+d=b+c\right\}.

Passo 1

O enunciado define a relação
T = \bigl\{((a,b),(c,d))\in\mathbb{Z}^2\times\mathbb{Z}^2 : a + d = b + c \bigr\}.
Queremos verificar se T é uma relação de equivalência, ou seja, se é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Verificação da reflexividade.
Para todo (a,b)\in\mathbb{Z}^2, temos
a + b = b + a
por comutatividade da soma em \mathbb{Z}. Logo
((a,b),(a,b))\in T
e T é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria.
Suponha ((a,b),(c,d))\in T. Então
a + d = b + c.
Pela comutatividade, isso implica
c + b = d + a,
ou seja
((c,d),(a,b))\in T.
Portanto T é simétrica.

Passo 4

Verificação da transitividade.
Suponha ((a,b),(c,d))\in T e ((c,d),(e,f))\in T. Então
a + d = b + c \quad\text{e}\quad c + f = d + e.
Somando as duas igualdades:
(a + d) + (c + f) \;=\; (b + c) + (d + e).
Reagrupando e cancelando c+d em ambos os lados (válido em \mathbb{Z}), obtemos
a + f = b + e,
isto é
((a,b),(e,f))\in T.
Logo T é transitiva.

Resposta

A relação T é de equivalência.

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