Sejam
uma função,
e
. Mostre que vale:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar duas propriedades de imagem e contra-imagem de uma função
:
-
para todo . -
para todo , o que implica .
Vamos usar as definições:
Passo 2
Provar
.
Seja . Então
por definição de imagem. Daí
pois
está no conjunto de chegada. Concluímos
Seja
logo
.
Passo 3
Provar
.
Seja . Então existe
tal que
.
Como , tem
, isto é
.
Além disso, mostra que
.
Portanto e obtemos
Seja
Como
Além disso,
Portanto
Passo 4
Provar
.
Seja . Então
e
para algum
.
Como , segue
.
Logo .
Assim
Seja
Como
Logo
Assim
Combinando com o Passo 3, concluímos