Sejam
e
funções. Mostre que
Se
é injetora e
é sobrejetora, então
é injetora.
Se
Passo 1
O enunciado dá duas funções
e
,
e afirma que
e afirma que
-
é injetora, e -
é sobrejetora.
Queremos mostrar quetambém é injetora.
Para isso, vamos usar as definições de injetividade e sobrejetividade e o fato de que a composição de funções herda propriedades desses conceitos.
Passo 2
Lembrando as definições:
– é sobrejetora significa que
–
–
é injetora significa que
Passo 3
Para provar que
é injetora, consideremos dois elementos arbitrários
tais que
Precisamos mostrar que
.
Passo 4
Como
é sobrejetora, existem
tais que
Passo 5
A igualdade
pode ser reescrita usando
:
Como
é injetora, concluímos que
Passo 6
Finalmente, de
e
,
, segue
Portanto, sempre que
devemos ter
, o que mostra que
é injetora.