Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z funções. Mostre que
Se g \circ f é injetora e f é sobrejetora, então g é injetora.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f\colon X \to Y e g\colon Y \to Z,
e afirma que
  1. g\circ f é injetora, e
  2. f é sobrejetora.
    Queremos mostrar que g também é injetora.
    Para isso, vamos usar as definições de injetividade e sobrejetividade e o fato de que a composição de funções herda propriedades desses conceitos.

Passo 2

Lembrando as definições:
f é sobrejetora significa que
\forall y\in Y\;\exists x\in X\text{ tal que }f(x)=y.
g\circ f é injetora significa que
\forall x_1,x_2\in X,\quad (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\implies x_1=x_2.

Passo 3

Para provar que g é injetora, consideremos dois elementos arbitrários y_1,y_2\in Y tais que
g(y_1)=g(y_2).
Precisamos mostrar que y_1=y_2.

Passo 4

Como f é sobrejetora, existem x_1,x_2\in X tais que
f(x_1)=y_1 \qquad\text{e}\qquad f(x_2)=y_2.

Passo 5

A igualdade g(y_1)=g(y_2) pode ser reescrita usando y_i=f(x_i):
g\bigl(f(x_1)\bigr)=g\bigl(f(x_2)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2).
Como g\circ f é injetora, concluímos que
x_1 = x_2.

Passo 6

Finalmente, de x_1=x_2 e f(x_1)=y_1, f(x_2)=y_2, segue
y_1 = f(x_1) = f(x_2) = y_2.
Portanto, sempre que g(y_1)=g(y_2) devemos ter y_1=y_2, o que mostra que g é injetora.

Resposta

g é injetora.

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