Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z funções. Mostre que
Se g \circ f é sobrejetora e g é injetora, então f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define duas funções \;f: X \to Y; e \;g: Y \to Z; e dá as hipóteses:
  1. \;g\circ f; é sobrejetora (isto é, para todo z\in Z existe x\in X com (g\circ f)(x)=z).
  2. \;g; é injetora (isto é, se g(y_1)=g(y_2) então y_1=y_2).
    Queremos mostrar que \;f; é sobrejetora (isto é, para todo y\in Y existe x\in X com f(x)=y).

Passo 2

Seja arbitrário y\in Y. Definimos
z \;=\; g(y)\;\in Z.
Como g\circ f é sobrejetora, existe x\in X tal que
(g\circ f)(x) \;=\; z.

Passo 3

Da igualdade (g\circ f)(x)=z obtemos
g\bigl(f(x)\bigr)=g(y).
Como g é injetora, segue que
f(x)=y.

Passo 4

Mostramos que, dado qualquer y\in Y, existe x\in X com f(x)=y. Isso prova que f é sobrejetora.

Resposta

f é sobrejetora.

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