Sejam
e
funções. Mostre que
Se
é sobrejetora e
é injetora, então
é sobrejetora.
Se
Passo 1
O enunciado define duas funções
; e
; e dá as hipóteses:
-
; é sobrejetora (isto é, para todo existe com ). -
; é injetora (isto é, se então ).
Queremos mostrar que; é sobrejetora (isto é, para todo existe com ).
Passo 2
Seja arbitrário
. Definimos
Como
é sobrejetora, existe
tal que
Passo 3
Da igualdade
obtemos
Como
é injetora, segue que
Passo 4
Mostramos que, dado qualquer
, existe
com
. Isso prova que
é sobrejetora.