Sejam
e
funções. Mostre que
Se
e
são bijetoras, então
é bijetora. Construa um exemplo mostrando que a recíproca é falsa.
Se
Passo 1
O enunciado trata de funções e quer mostrar que, se
e
são bijetoras, então a composição
também é bijetora. O conteúdo é sobre injeção, sobrejeção e bijeção de funções, e usaremos as definições:
– é injetora se, sempre que
, segue que
.
– é sobrejetora se, para todo
, existe
tal que
.
– é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora.
–
–
–
Passo 2
Provar injeção de
. Suponha que
Então
Como
é injetora, isso implica
E como
é injetora, obtemos
Logo,
é injetora.
Passo 3
Provar sobrejeção de
. Seja
arbitrário. Como
é sobrejetora, existe
tal que
E como
é sobrejetora, existe
tal que
Portanto
Isso prova que
é sobrejetora.
Passo 4
Conclusão:
é injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.
Passo 5
Agora, um exemplo que mostra que a recíproca “se
é bijetora então
e
são bijetoras” é falsa. Considere
Defina
que é injetora (não há dois elementos em
para colidirem) mas não é sobrejetora (não atinge
). E defina
que é sobrejetora (atinge
) mas não é injetora (pois
).
Passo 6
Verifique a composição:
Como
e
têm ambos um único elemento, a função
é bijetora (injetora e sobrejetora triviais em conjuntos unitários). Assim,
é bijetora, mas
não é sobrejetora e
não é injetora, mostrando que a recíproca falha.
Resposta
A composição de bijeções é bijeção, mas a recíproca é falsa conforme o exemplo acima.