Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z funções. Mostre que
Mostre que se f é bijetora, então f^{-1} é bijetora.

Passo 1

O enunciado afirma que f\colon X\to Y é bijetora, isto é, é injetora e sobrejetora. Dessa forma existe uma função inversa
f^{-1}\colon Y\to X
que satisfaz
f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_X \quad\text{e}\quad f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y.
Nosso objetivo é mostrar que f^{-1}$ também é bijetora.

Passo 2

Injetividade de f^{-1}.
Sejam y_1,y_2\in Y tais que
f^{-1}(y_1) = f^{-1}(y_2).
Aplicando f em ambos os lados e usando f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_Y, vem
y_1 = f\bigl(f^{-1}(y_1)\bigr) = f\bigl(f^{-1}(y_2)\bigr) = y_2.
Logo y_1=y_2, mostrando que f^{-1} é injetora.

Passo 3

Sobrejetividade de f^{-1}.
Seja x\in X. Como f é sobrejetora, existe y\in Y tal que f(x)=y. Então
f^{-1}(y) = f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = x,
mostrando que todo x\in X é atingido por f^{-1}. Logo f^{-1} é sobrejetora.

Resposta

f^{-1} é bijetora.

Exercícios relacionados