Sejam as seguintes integrais
(a) integral0^4(1-e^-2 x) d x
Calcule um valor aproximado usando:
ii) A regra do trapézio repetida, a regra 1 / 3 de Simpson repetida, regra dos retângulos repetida com m=4;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral I=integral0^4l(1-e^-2xr),dx usando métodos de quadratura numérica: regra dos retângulos, trapézio repetido e regra 1/3 de Simpson repetida com m=4. Vamos precisar dividir o intervalo em 4 subintervalos iguais e aplicar as fórmulas clássicas de cada método.

Passo 2

Como o intervalo é [0,4] e m=4, o passo é
h=4-04=1
Os nós são
xi = i,, i=0,1,2,3,4
Calculamos a função f(x)=1-e^-2x em cada nó:
f(0)=0, f(1)=1-e^-2approx0.8646647, f(2)approx0.9816844, f(3)approx0.9975213, f(4)approx0.9996645

Passo 3

Para a regra dos retângulos no ponto médio, usamos os 4 subintervalos e os pontos médios
xi1/2=0.5,;1.5,;2.5,;3.5
Com
f(0.5)approx0.6321206,;f(1.5)approx0.9502129,;f(2.5)approx0.9932620,;f(3.5)approx0.9990881
a aproximação é
R = hsumi=1^4 fl(xi-1/2r) = 1,(0.6321206+0.9502129+0.9932620+0.9990881)approx3.5747

Passo 4

Na regra do trapézio repetida a fórmula é
T = hl(tfracf(0)+f(4)2 + sumi=1^3 f(xi)r)
Substituindo,
T =1l(tfrac0+0.99966452 + (0.8646647+0.9816844+0.9975213)r)approx3.3437

Passo 5

Na regra 1/3 de Simpson repetida (com m=4) temos
S = h3l(f(0)+4f(1)+2f(2)+4f(3)+f(4)r)
Assim,
S =13l(0 + 4cdot0.8646647 + 2cdot0.9816844 + 4cdot0.9975213 + 0.9996645r)approx3.4706

Resposta

Regra dos retângulos (ponto médio): ≈3.5747; regra do trapézio: ≈3.3437; regra 1/3 de Simpson: ≈3.4706

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