(a) Resolva a primeira equação para
e substitua na segunda equação, obtendo, assim, uma equação de segunda ordem para
. Resolva essa equação para
e determine
.
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema de EDOs lineares de primeira ordem:
e
. O conteúdo aqui é redução de sistema a uma equação de segunda ordem, usando eliminação. Vamos precisar isolar
na primeira equação e depois obter
para inserir na segunda.
Passo 2
Da primeira equação isolamos
:
Diferenciando ambos os lados, achamos
:
Passo 3
Substituímos
e
na segunda equação
:
Simplificando,
Obtemos uma EDO linear homogênea de segunda ordem.
Passo 4
Resolvemos a equação característica associada:
As raízes são
e
. Logo a solução geral para
é
Passo 5
Para encontrar
, usamos
. Calculando
:
Então,