x1^prime=-2 x1+x2, x2^prime=x1-2 x2
(a) Resolva a primeira equação para x1 e substitua na segunda equação, obtendo, assim, uma equação de segunda ordem para x1. Resolva essa equação para x1 e determine x2.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de EDOs lineares de primeira ordem: x1^prime=-2x1+x2 e x2^prime=x1-2x2. O conteúdo aqui é redução de sistema a uma equação de segunda ordem, usando eliminação. Vamos precisar isolar x2 na primeira equação e depois obter x2^prime para inserir na segunda.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x2:
x2=x1^prime+2x1
Diferenciando ambos os lados, achamos x2^prime:
x2^prime=x1^primeprime+2x1^prime

Passo 3

Substituímos x2 e x2^prime na segunda equação x2^prime=x1-2x2:
x1^primeprime+2x1^prime=x1-2(x1^prime+2x1)
Simplificando,
x1^primeprime+2x1^prime=x1-2x1^prime-4x1
x1^primeprime+4x1^prime+3x1=0
Obtemos uma EDO linear homogênea de segunda ordem.

Passo 4

Resolvemos a equação característica associada:
r^2+4r+3=0
As raízes são r=-1 e r=-3. Logo a solução geral para x1(t) é
x1(t)=C1e^-t+C2e^-3t .

Passo 5

Para encontrar x2(t), usamos x2=x1^prime+2x1. Calculando x1^prime:
x1^prime(t)=-C1e^-t-3C2e^-3t
Então,
x2(t)=(-C1e^-t-3C2e^-3t)+2(C1e^-t+C2e^-3t)=C1e^-t-C2e^-3t

Resposta

x1(t)=C1e^-t+C2e^-3t, x2(t)=C1e^-t-C2e^-3t

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