Sejam f1=e1-e2
& f2=2 e1-e2+2 e3 & f3=-e1+2 e3
(f1, f2, f3) é base de V^3 ?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em V^3:
f1=e1-e2, f2=2e1-e2+2e3, f3=-e1+2e3
Para saber se (f1,f2,f3) forma base de V^3, precisamos checar se eles são linearmente independentes (ou seja, se o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é diferente de zero).

Passo 2

Escrevemos a matriz A cujas colunas são f1,f2,f3 em relação à base canônica (e1,e2,e3):
A = 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 0 0 & 2 & 2

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet-1 & 0 2 & 2 -2cdotdet-1 & 0 0 & 2 +(-1)cdotdet-1 & -1 0 & 2
Agora cada menor:
det-1 & 0 2 & 2 = (-1)cdot2 - 0cdot2 = -2,
det-1 & 0 0 & 2 = (-1)cdot2 - 0cdot0 = -2,
det-1 & -1 0 & 2 = (-1)cdot2 - (-1)cdot0 = -2
Substituindo,
det(A) = 1cdot(-2) - 2cdot(-2) +(-1)cdot(-2) = -2 +4 +2 = 4

Passo 4

Como det(A)=4neq0, os vetores são linearmente independentes e, sendo três vetores em V^3, formam base de V^3.

Resposta

Sim, (f1,f2,f3) é base de V^3.

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