Prove que o vetor u=(a, b) é perpendicular à reta a x+b y+c=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor vec u=(a,b) é perpendicular à reta
a x + b y + c = 0
O conteúdo principal que vamos usar é a definição de vetores perpendiculares em R^2: dois vetores são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero.

Passo 2

Recordando a definição, dados vec u=(u1,u2) e vec v=(v1,v2), o produto escalar é
vec ucdotvec v = u1v1 + u2v2
E dizemos que vec uperpvec v exatamente quando vec ucdotvec v=0.

Passo 3

Para encontrar um vetor direção da reta, basta tomar dois pontos quaisquer P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) que satisfaçam a equação a x + b y + c = 0. Esses pontos verificam
a x1 + b y1 + c = 0 e a x2 + b y2 + c = 0
O vetor direção da reta é vec d = P2 - P1 = (x2 - x1,,y2 - y1).

Passo 4

Calculamos o produto escalar entre vec u=(a,b) e vec d=(x2 - x1,,y2 - y1):
vec ucdotvec d = a,(x2 - x1) ;+; b,(y2 - y1) = l(a x2 + b y2r) - l(a x1 + b y1r)
Como a xi + b yi = -c para i=1,2, segue que
vec ucdotvec d = (-c) - (-c) = 0

Passo 5

O fato de vec ucdotvec d=0 mostra que vec u é perpendicular a qualquer vetor direção vec d da reta. Portanto, vec u é normal (perpendicular) à reta a x + b y + c = 0.

Resposta

O vetor u=(a,b) é perpendicular à reta a x + b y + c = 0 pois o seu produto escalar com qualquer vetor direção da reta é zero.

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